Berührung (Mathematik)

Die Berührung ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Zwei geometrische Objekte wie zum Beispiel Funktionsgraphen, Kurven oder gekrümmte Flächen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt, wenn die Tangenten der beiden Objekte in diesem Punkt übereinstimmen. Dieser Punkt heißt Berührungspunkt. Die Tangenten können mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmt werden.

Verallgemeinert besteht an einem gemeinsamen Punkt eine Berührung ${\displaystyle n}$-ter Ordnung, wenn alle Ableitungen bis zur ${\displaystyle n}$-ten Ordnung in diesem Punkt übereinstimmen.

Berührung zweier Funktionen

Seien ${\displaystyle f,g\colon I\to \mathbb {R} }$ zwei auf dem Intervall ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ definierte Funktionen, die in einem inneren Punkt ${\displaystyle a}$ des Intervalls ${\displaystyle I}$ differenzierbar sind. Dann berühren sich die Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ genau dann im Punkt ${\displaystyle a}$, wenn

${\displaystyle f(a)=g(a)\qquad {\text{und}}\qquad f'(a)=g'(a)}$

gilt.^[1]

Berührung zweier Kurven

Das Konzept der Berührung zweier differenzierbarer Funktionen kann ohne Weiteres auf zwei Kurven mit differenzierbarem Weg übertragen werden.

Seien ${\displaystyle \gamma \colon I\to \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle {\bar {\gamma }}\colon I\to \mathbb {R} ^{n}}$ zwei Kurven mit differenzierbarem Weg, wobei ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ein Intervall ist. Existiert ein Punkt ${\displaystyle a\in I}$ mit

${\displaystyle \gamma (a)={\bar {\gamma }}(a)\qquad {\text{und}}\qquad \gamma '(a)={\bar {\gamma }}'(a)}$

dann heißt ${\displaystyle a}$ Berührpunkt der beiden Kurven ${\displaystyle \gamma (a)}$ und ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$.

Entsprechend heißt ein Punkt ${\displaystyle a\in I\subset \mathbb {R} }$ Berührpunkt ${\displaystyle k}$-ter Ordnung von zwei Kurven mit mindestens ${\displaystyle k}$-fach differenzierbarem Weg, wenn im Punkt ${\displaystyle a}$ alle ${\displaystyle k}$ Ableitungen der beiden Kurven übereinstimmen.^[2]

In jedem Punkt einer Kurve, in dem die Tangente die Kurve nicht in höherer Ordnung berührt, gibt es einen eindeutig bestimmten Kreis, der die Kurve in diesem Punkt in höherer Ordnung berührt. Er wird Krümmungskreis oder Schmiegungskreis genannt. Zum Beispiel ist der Einheitskreis um den Koordinatenursprung der Schmiegungskreis der Kosinus-Funktion im Punkt ${\displaystyle (0,1)}$.

Siehe auch

• Berührung zwischen Kreisen und Dreiecken: Inkreis, Ankreis
• Umsetzung in der Technik: Zahnrad, Verzahnungsgesetz

Einzelnachweise

1. ↑ Berührung zweier Funktionen. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8. 
2. ↑ Heinrich Brauner: Differentialgeometrie. Vieweg, Braunschweig 1981, ISBN 3-528-03809-8, S. 81.