Bellsche Zahl

Die Bellsche Zahl, Bellzahl oder Exponentialzahl ${\displaystyle B_{n}}$ ist die Anzahl der Partitionen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Eric Temple Bell. Die Folge ${\displaystyle B_{0},B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ beginnt mit

${\displaystyle 1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975,678570,\ldots }$ (Folge A000110 in OEIS)

Bedeutung

Partitionen

Eine Partition ${\displaystyle P}$ einer Menge ${\displaystyle M}$ beinhaltet paarweise disjunkte Teilmengen von ${\displaystyle M}$, sodass jedes Element aus ${\displaystyle M}$ in genau einer Menge aus ${\displaystyle P}$ vorkommt. Für alle natürlichen Zahlen einschließlich der Null ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ bezeichnet nun die Bellsche Zahl ${\displaystyle B_{n}}$ die Anzahl ${\displaystyle \left|Q\right|}$ der möglichen verschiedenen Partitionen einer Menge mit der Mächtigkeit ${\displaystyle n}$, wobei ${\displaystyle Q}$ die Menge aller möglichen Partitionen darstellt. Formal:

${\displaystyle \left|M\right|=n}$

${\displaystyle \forall P\in Q:\bigcup _{x\in P}x=M}$

${\displaystyle \forall P\in Q~\forall a,b\in P~(a\neq b\Longrightarrow a\cap b=\emptyset )}$

${\displaystyle B_{n}:=\left|Q\right|}$

Die Bellsche Zahl mit dem Index 0, ${\displaystyle B_{0}}$, – also die Anzahl der Partitionen der leeren Menge ${\displaystyle \emptyset }$ – ist 1, weil die einzige Partition der leeren Menge wieder die leere Menge selbst ist. Dies ist so, weil alle Aussagen mit dem Allquantor über die Elemente der leeren Menge wahr sind (siehe leere Menge).

Multiplikative Partitionen

Sei ${\displaystyle N}$ eine quadratfreie Zahl, so ist ${\displaystyle n=\omega (N)}$, wobei ${\displaystyle \omega :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ die Funktion zur Bestimmung der Anzahl der einzigartigen Primfaktoren ist. Dann ist ${\displaystyle B_{n}}$ wiederum die Anzahl der unterschiedlichen multiplikativen Partitionen von ${\displaystyle N}$.

Sei zum Beispiel ${\displaystyle N=30}$, so ist ${\displaystyle n=\omega (30)=3}$ (da 30 aus den drei Primfaktoren 2, 3 und 5 besteht) und ${\displaystyle B_{3}=5}$ ist damit die Anzahl der multiplikativen Partitionen. Diese lauten:

${\displaystyle 30\times 1=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5}$

Eigenschaften

Definition

Für die Bellschen Zahlen ist diese Rekursionsformel gültig:

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}B_{k}}}$

Die Dobińskische Formel (Dobiński 1877)^[1] dient zur Definition der Bellschen Zahlen für alle Zahlen n ≥ 0:

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}$

Diese Formel wurde nach dem polnischen Mathematiker Donald Gabriel Dobiński^[2] benannt.

Die Richtigkeit dieser Formel kann durch einen Induktionsbeweis nachgewiesen werden:

${\displaystyle f(n)={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}$

Für n ≥ 0 gilt:

${\displaystyle f(n+1)={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n+1}}{k!}}={\frac {1}{e}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n+1}}{k!}}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)^{n+1}}{(k+1)!}}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)^{n}}{k!}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}k^{m}=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{m}}{k!}}=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}f(m)}$

Außerdem gilt:

${\displaystyle f(0)={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=1}$

Wenn gilt:

${\displaystyle f(n+1)=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}f(m)}$ und ${\displaystyle f(0)=1}$

Dann gilt:

${\displaystyle f(n)=B_{n}}$

Somit ist ${\displaystyle B_{n}}$ auch das ${\displaystyle n}$-te Moment einer Poisson-Verteilung mit Erwartungswert 1.

Erzeugende Funktionen

Die erzeugende Funktion der Bellzahlen ist wie folgt darstellbar:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}\,x^{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!\,(1-kx)}}}$

Die exponentiell erzeugende Funktion lautet so:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}\,x^{n}=e^{e^{x}-1}}$

Diese Tatsache kann mit der genannten Dobiński-Formel bewiesen werden:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\biggl [}{\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}{\biggr ]}x^{n}={\frac {1}{e}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!n!}}x^{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!n!}}x^{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(kx)^{n}}{n!}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\exp(kx)={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\exp(x)^{k}={\frac {1}{e}}\exp[\exp(x)]=\exp[\exp(x)-1]}$

Kongruenzsätze

Die Bellschen Zahlen genügen der Kongruenz (Touchard 1933)^[3]

${\displaystyle B_{p^{k}+n}\equiv k\,B_{n}+B_{n+1}\ ({\text{mod }}p)}$

für natürliche Zahlen ${\displaystyle k}$ und Primzahlen ${\displaystyle p}$, insbesondere ${\displaystyle B_{p^{k}}\equiv k+1\ ({\text{mod }}p)}$ und ${\displaystyle B_{p}\equiv 2\ ({\text{mod }}p)}$ und, nach Iteration,^[4]

${\displaystyle B_{1+p+\ldots +p^{p-1}+n}\equiv B_{n}\ ({\text{mod }}p).}$

Es wird vermutet, dass ${\displaystyle 1+p+\dots +p^{p-1}}$ die kleinste Periode von ${\displaystyle B_{n}\ ({\text{mod }}p)}$ ist.^[5][6] Für Primzahlen ${\displaystyle p>2}$ ist

${\displaystyle B_{p^{k+1}n}\equiv B_{p^{k}n+1}\ ({\text{mod }}p^{k+1}),}$

für ${\displaystyle p=2}$ gilt die Kongruenz ${\displaystyle ({\text{mod }}p^{k})}$.^[7]

Da die Stirling-Zahl ${\displaystyle S(n,k)}$ zweiter Art die Anzahl der ${\displaystyle k}$-Partitionen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge ist, gilt

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k).}$

Asymptotik

Für die Bellzahlen sind verschiedene asymptotische Formeln bekannt, etwa

${\displaystyle B_{n}\sim n^{-1/2}\ {\bigl (}\lambda (n){\bigr )}^{n+1/2}\ e^{\lambda (n)-n-1}}$     mit     ${\displaystyle \lambda (n)=e^{W(n)}={\frac {n}{W(n)}}}$

mit der Lambert-W-Funktion ${\displaystyle W}$.

Bellsches Dreieck

Die Bellschen Zahlen lassen sich intuitiv durch das Bellsche Dreieck erzeugen, welches – wie das Pascalsche Dreieck – aus Zahlen besteht und pro Zeile ein Element bzw. eine Spalte mehr besitzt. Das Bellsche Dreieck wird gelegentlich auch Aitkens array (nach Alexander Aitken) oder Peirce-Dreieck (nach Charles Sanders Peirce) genannt.

Es wird nach den folgenden Regeln konstruiert:

1. Die erste Zeile hat nur ein Element: Die Eins (1).
2. Wenn die ${\displaystyle n}$-te Zeile (von 1 beginnend) ${\displaystyle n}$ Elemente hat, so wird eine neue Zeile erzeugt. Dabei ist die erste Zahl der neuen Zeile gleich der letzten Zahl der letzten Zeile.
3. Die ${\displaystyle k}$-te Zahl der Zeile ${\displaystyle n}$ (für ${\displaystyle 1<k\leq n}$) ist gleich der Summe des ${\displaystyle (k-1)}$-ten Elements derselben Zeile und des ${\displaystyle (k-1)}$-ten Elements der vorherigen Zeile (also jene mit der Nummer ${\displaystyle n-1}$).
4. ${\displaystyle B_{n}}$ ist nun das ${\displaystyle n}$-te Element aus der ${\displaystyle n}$-ten Zeile.

Die ersten fünf Zeilen, erzeugt nach diesen Regeln, sehen wie folgt aus:

 1
 1   2
 2   3   5
 5   7  10  15
15  20  27  37  52

Wegen des zweiten Schritts sind die Bellschen Zahlen sowohl auf der linken als auch auf der rechten Kante des Dreiecks zu sehen, lediglich mit dem Unterschied, dass in der ${\displaystyle n}$-ten Zeile links die Zahl ${\displaystyle B_{n-1}}$ und rechts die Zahl ${\displaystyle B_{n}}$ ist.

Bellsche Primzahlen

Im Jahre 1978 formulierte Martin Gardner die Frage, ob unendlich viele Bellsche Zahlen auch Primzahlen sind. Die ersten Bellschen Primzahlen sind:

Die nächste Bellsche Primzahl ist ${\displaystyle B_{2841}}$, die etwa ${\displaystyle 9{,}30740105\times 10^{6538}}$ entspricht.^[8] Sie ist auch die aktuell größte bekannte Bellsche Primzahl (Stand: 5. August 2018). Im Jahre 2002 zeigte Phil Carmody, dass es sich bei dieser Zahl wahrscheinlich um eine Primzahl (eine sogenannte PRP-Zahl) handelt, sie also entweder tatsächlich eine echte Primzahl oder eine Pseudoprimzahl ist. Nach einer 17-monatigen Berechnung mit Marcel Martins Programm „Primo“, welches mit einem Verfahren mit elliptischen Kurven arbeitet, bewies Ignacio Larrosa Cañestro im Jahre 2004, dass es sich bei ${\displaystyle B_{2841}}$ um eine Primzahl handelt. Gleichzeitig schloss er weitere Bellsche Primzahlen bis zu einer Grenze von ${\displaystyle B_{6000}}$ aus, welche später von Eric Weisstein auf ${\displaystyle B_{30447}}$ angehoben wurde.

Einzelnachweise

1. ↑ G. Dobiński: Summirung der Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum {\frac {n^{m}}{n!}}}$ für ${\displaystyle m=1,2,3,4,5,\ldots }$, Grunert-Archiv 61, 1877, S. 333–336
2. ↑ YYiki: G. Dobínski. Abgerufen am 7. September 2021. 
3. ↑ Jacques Touchard: Propriétés arithmétiques de certains nombres récurrents, Annales de la Société scientifique de Bruxelles A 53, 1933, S. 21–31 (französisch)
4. ↑ Marshall Hall: Arithmetic properties of a partition function, Bulletin of the AMS 40, 1934, S. 387 (englisch; nur Abstract)
5. ↑ Christian Radoux: Nombres de Bell, modulo p premier, et extensions de degré p de F_p, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences 281 A, 1975, S. 879–882 (französisch)
6. ↑ Peter L. Montgomery, Sangil Nahm, Samuel S. Wagstaff: The period of the Bell numbers modulo a prime (PDF-Datei, 168 kB), Mathematics of computation 79, 2010, S. 1793–1800 (englisch)
7. ↑ Anne Gertsch, Alain M. Robert: Some congruences concerning the Bell numbers, Bulletin of the Belgian Mathematical Society – Simon Stevin 3, 1996, S. 467–475 (englisch)
8. ↑ 93074010508593618333...(6499 other digits)...83885253703080601131 auf Prime Pages. Abgerufen am 5. August 2018.

Literatur

• Eric Temple Bell: Exponential Numbers, The American Mathematical Monthly 41, 1934, S. 411–419
• Jacques Touchard: Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli, Canadian Journal of Mathematics 8, 1956, S. 305–320 (französisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bell Number und Dobiński’s Formula. In MathWorld (englisch)
• Bell numbers bei The Wolfram Functions Site (englisch; mit Berechnungsmöglichkeit)
• Set Partitions: Bell Numbers in der NIST Digital Library of Mathematical Functions (englisch)
• Peter Luschny: Set partitions and Bell numbers (englisch). Eine Zusammenfassung von OEIS-Folgen zu den Bellzahlen im OEIS Wiki.