Begleitmatrix

Die Begleitmatrix ist eine spezielle Matrix, die einem normierten Polynom zugeordnet werden kann. Somit ist eine Begleitmatrix ein Objekt aus der linearen Algebra.

Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms ${\displaystyle n}$-ten Grades ${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$ über einem Körper ist die quadratische ${\displaystyle n\times n}$-Matrix.^[1]

${\displaystyle A(f)={\begin{pmatrix}0&0&\dots &0&-a_{0}\\1&0&\dots &0&-a_{1}\\0&1&\ddots &\vdots &-a_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&\dots &0&1&-a_{n-1}\\\end{pmatrix}}.}$

Manchmal wird auch die transponierte Matrix von ${\displaystyle A(f)}$ verwendet, was aber nichts Wesentliches ändert. Man nennt diese spezielle Form der Matrix dann auch Kardinalform.

Das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von ${\displaystyle A(f)}$ sind gerade ${\displaystyle f}$. Andererseits ist eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$ ähnlich zu der Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms von ${\displaystyle A}$ genau dann, wenn das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von ${\displaystyle A}$ identisch sind.^[2]

Hat das Polynom ${\displaystyle f}$ genau ${\displaystyle n}$ verschiedene Nullstellen ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$, dann ist ${\displaystyle A(f)}$ diagonalisierbar: ${\displaystyle VA(f)V^{-1}=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ für die Vandermonde-Matrix ${\displaystyle V=V(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$.

Hiervon gilt sogar die Umkehrung, das heißt, eine Begleitmatrix ${\displaystyle A(f)}$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn ${\displaystyle f}$ genau ${\displaystyle \mathrm {grad} (f)}$ verschiedene Nullstellen hat.

Ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist genau dann zyklisch durch einen Endomorphismus erzeugt, wenn eine Basis des Vektorraums existiert bezüglich der die Darstellende Matrix des Endomorphismus die Form einer Begleitmatrix hat.^[3]

Im Falle der ebenfalls gebräuchlichen Definition des charakteristische Polynom als ${\displaystyle \chi _{A}=\operatorname {det} (A_{f}{-}\lambda E_{n})}$ , ist das Solche von ${\displaystyle A(f)}$ durch ${\displaystyle (-1)^{n}f}$ gegeben. Der Beweis erfolgt durch Laplace-Entwicklung nach der letzten Spalte, wobei sich das Ergebnis von der Normierten Definition des charakteristischen Polynoms nach der Multilinearität der Determinante um den Faktor ${\displaystyle (-1)^{n}}$ unterscheidet :

Sei ${\displaystyle B:=A_{f}-\lambda E_{n}}$. Dann gilt

${\displaystyle \chi _{A}=\operatorname {det} (B)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n+i}b_{in}\cdot \operatorname {det} ({\acute {B}}_{in})}$

Für alle ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$ ist ${\displaystyle {\acute {B}}_{in}}$ in Blockgestalt, also

${\displaystyle {\acute {B}}_{in}={\begin{pmatrix}C_{i}&0\\0&D_{i}\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle C_{i}={\begin{pmatrix}-\lambda &&&0\\1&-\lambda &&\\&\ddots &\ddots &\\0&&1&-\lambda \end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (i-1,K)}$ ,${\displaystyle D_{i}={\begin{pmatrix}1&-\lambda &&0\\&1&\ddots &\\&&\ddots &-\lambda \\0&&&1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (n-i,K)}$

Mit dem Satz über Determinanten von Blockmatrizen und Diagonalmatrizen folgt

${\displaystyle \operatorname {det} ({\acute {B}}_{in})=\operatorname {det} ({C}_{i})\cdot \operatorname {det} ({D}_{i})=(-\lambda )^{i-1}}$

Also gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{A}&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n+i}b_{in}\cdot \operatorname {det} ({\acute {B}}_{in})\\&=\left(\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{n+i}(-a_{i-1})\cdot (-\lambda )^{i-1}\right)+(-1)^{2n}(-a_{n-1}-\lambda )\cdot (-\lambda )^{n-1}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n}(a_{i-1})\cdot \lambda ^{i-1}\right)+(-1)^{n}\cdot \lambda ^{n}\\&=(-1)^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}\lambda ^{i}\right)+\lambda ^{n}\right)\\&=(-1)^{n}\cdot f\\\end{aligned}}}$

Begleitmatrizen treten in der Normalformtheorie auf. Die Existenz der Frobenius-Normalform besagt, dass jede Matrix ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix ist, deren Blöcke Begleitmatrizen sind.

1. ↑ Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6, S. 349. 
2. ↑ Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 147 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
3. ↑ Kenneth Hoffman, Ray A. Kunze: Linear algebra. 2. ed Auflage. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J 1971, ISBN 978-0-13-536797-1. 

Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 6.5.