Bedingte Unabhängigkeit

Die bedingte Unabhängigkeit ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine mathematische Verallgemeinerung der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen, Mengensystemen und Zufallsvariablen mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit und des bedingten Erwartungswertes. Die bedingte Unabhängigkeit findet beispielsweise Anwendung bei Aussagen über austauschbare Familien von Zufallsvariablen.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum , sowie eine Unter-σ-Algebra von . Sei die bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben .

Eine Familie von Teil-σ-Algebren von heißt bedingt unabhängig gegeben , wenn für jede endliche Teilmenge von und jede beliebige Wahl von mit gilt, dass

.

Aufgrund der Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit ist die Identität als P-fast sicher zu verstehen.

Eine Familie von Zufallsvariablen heißt bedingt unabhängig gegeben , wenn die Familie der erzeugten σ-Algebren bedingt unabhängig gegeben ist.

Bemerkungen und Eigenschaften

  • Angelehnt an die Formulierung "unabhängig identisch verteilt" definiert man mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit eine Familie von Zufallsvariablen als unabhängig identisch verteilt gegeben , wenn die Familie unabhängig gegeben ist und die bedingten Verteilungen alle gleich sind.
  • Beispielsweise ist jede Familie von Teil-σ-Algebren von immer unabhängig gegeben , genauso wie jede unabhängige Familie von σ-Algebren (im Sinne der Unabhängigkeit eines Mengensystems) immer unabhängig gegeben die triviale σ-Algebra ist.

Elementare bedingte Unabhängigkeit für Ereignisse

Zwei Ereignisse und sind bedingt (stochastisch) unabhängig gegeben für ein Ereignis mit , genau dann, wenn

Im Fall folgt

Im Fall folgt

Eine der beiden letzten Gleichungen wird manchmal auch zur Definition der bedingten Unabhängigkeit von Ereignissen verwendet. Für positive Wahrscheinlichkeiten sind die drei Gleichungen äquivalent.

Eine übliche Notation ist , wenn und bedingt unabhängig gegeben sind. Diese Notation ist als zu verstehen, aber nicht als .

Literatur

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.