Baryzentrische Unterteilung

In der Mathematik ist baryzentrische Unterteilung ein Verfahren, um Simplizes (Dreiecke, Tetraeder …) in kleinere Simplizes zu zerlegen.

Baryzentrum

Seien ${\displaystyle u_{0},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {R} ^{N}}$ Punkte in allgemeiner Lage. Für einen Punkt

${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}u_{j}}$ mit ${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}=1}$

werden die Zahlen ${\displaystyle \alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n}}$ als baryzentrische Koordinaten von ${\displaystyle u}$ bezüglich ${\displaystyle u_{0},\ldots ,u_{n}}$ bezeichnet. (Diese Zerlegung ist eindeutig, wenn die Punkte in allgemeiner Lage sind.)

Für einen ${\displaystyle n}$-Simplex mit Ecken ${\displaystyle u_{0},\ldots ,u_{n}}$ bezeichnet man als Baryzentrum den Punkt

${\displaystyle b:={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=0}^{n}u_{j}.}$

In diesem Punkt sind also alle baryzentrischen Koordinaten gleich ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}}$.

Zum Beispiel ist das Baryzentrum eines 0-Simplex das 0-Simplex selbst, das Baryzentrum eines 1-Simplex ist der Mittelpunkt der Strecke, das Baryzentrum eines 2-Simplex ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

Baryzentrische Unterteilung

Die baryzentrische Unterteilung von Simplizes wird wie folgt definiert. Die baryzentrische Unterteilung eines 0-Simplex ist das 0-Simplex selbst. Wenn die baryzentrische Unterteilung von (n-1)-Simplizes bereits definiert ist, definiert man die baryzentrische Unterteilung eines n-Simplizes als bestehend aus den n-Simplizes, die von dem Baryzentrum des n-Simplexes und den (n-1)-Simplizes in den baryzentrischen Unterteilungen der ${\displaystyle n+1}$ Randflächen aufgespannt werden.

Die baryzentrische Unterteilung eines 1-Simplex besteht also aus den beiden 1-Simplizes, die vom Mittelpunkt und einem der beiden Eckpunkte der Strecke aufgespannt werden. Die baryzentrische Unterteilung eines 2-Simplex besteht aus den sechs 2-Simplizes, die vom Baryzentrum (dem Schwerpunkt des Dreiecks), einem Seitenmittelpunkt und einem benachbarten Eckpunkt aufgespannt werden.

Die baryzentrische Unterteilung eines n-Simplex besteht aus ${\displaystyle (n+1)!}$ n-Simplizes. Der Durchmesser jedes dieser Simplizes ist höchstens ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}$ mal der Durchmesser des ursprünglichen Simplex.

Als iterierte baryzentrische Unterteilung bezeichnet man die mehrmalige Anwendung der baryzentrischen Unterteilung auf einen Simplizialkomplex.

Anwendungen in der Topologie

• Iterierte baryzentrische Unterteilung wird verwendet im Beweis des simplizialen Approximationssatzes und damit beim Beweis der Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie.
• Für eine offene Überdeckung eines metrischen Raumes ${\displaystyle X}$ und eine Homologieklasse ${\displaystyle c\in H_{*}(X)}$ kann man mittels hinreichend häufiger baryzentrischer Unterteilung eines ${\displaystyle c}$ repräsentierenden Zyklus beweisen, dass sich ${\displaystyle c}$ repräsentieren lässt durch einen Zyklus, dessen Simplizes alle in (mindestens) einer der offenen Mengen der Überdeckung enthalten sind. Dies ist ein wesentlicher Schritt im Beweis des Ausschneidungssatzes und der Mayer-Vietoris-Sequenz.

Literatur

• A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2002, ISBN 0-521-79540-0/pbk