Barnessche G-Funktion

Die Barnessche ${\displaystyle G}$-Funktion, typischerweise mit ${\displaystyle G(z)}$ bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der Superfakultäten auf die komplexen Zahlen darstellt. Sie steht in Beziehung zur Gammafunktion, der ${\displaystyle K}$ und der Konstanten von Glaisher-Kinkelin und ist nach dem Mathematiker Ernest William Barnes benannt.^[1]

Formal ist die Barnessche ${\displaystyle G}$-Funktion in der Form eines Weierstraß-Produkts definiert als

${\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-[z(z+1)+\gamma z^{2}]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right]}$

wobei ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Die Barnessche ${\displaystyle G}$-Funktion erfüllt die Differenzengleichung

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)G(z)}$

mit der Normierung ${\displaystyle G(1)=1.}$ Die Differenzengleichung impliziert, dass ${\displaystyle G}$ die folgenden Werte für ganzzahlige Argumente annimmt:

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}n=0,-1,-2,\ldots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!,&{\text{falls }}n=1,2,\ldots \end{cases}}}$

so dass

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

wobei ${\displaystyle \Gamma (n)}$ die Gammafunktion und ${\displaystyle K(n)}$ die K-Funktion bezeichnen. Die Differenzengleichung definiert die ${\displaystyle G}$-Funktion eindeutig, wenn die Konvexitätsbedingung

${\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$

gestellt wird.^[2]

Die Differenzengleichung der ${\displaystyle G}$-Funktion und die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion liefern die folgende Funktionalgleichung für die ${\displaystyle G}$-Funktion, wie ursprünglich von Hermann Kinkelin bewiesen wurde:

${\displaystyle G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int \limits _{0}^{z}\pi t\cot \pi t\,\mathrm {d} t.}$

Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die ${\displaystyle G}$-Funktion eine Multiplikationsformel:^[3]

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

wobei ${\displaystyle K(n)}$ eine Funktion ist, die durch

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

gegeben ist. Hierbei ist ${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$ die Ableitung der Riemannschen Zeta-Funktion und ${\displaystyle A}$ die Konstante von Glaisher-Kinkelin.

Die Funktion ${\displaystyle \log \,G(z+1)}$ hat die folgende asymptotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:

${\displaystyle \log G(z+1)={\frac {1}{12}}-\log A+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +\left({\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right)\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}+O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle B_{k}}$ die Bernoulli-Zahlen und ${\displaystyle A}$ die Konstante von Glaisher-Kinkelin. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes^[4] die Bernoulli-Zahl ${\displaystyle B_{2k}}$ als ${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$ geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für ${\displaystyle z}$ in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.

• Eric W. Weisstein: Barnes ${\displaystyle G}$-Function. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Ernest W. Barnes: The theory of the ${\displaystyle G}$-function. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, Bd. 31 (1900), Seiten 264–314.
2. ↑ Marie-France Vignéras: L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe modulaire ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$. In: Astérisque, Bd. 61 (1979), Seiten 235–249, ISSN 0303-1179.
3. ↑ Moshe Y. Vardi: Determinants of Laplacians and multiple gamma functions. In: SIAM Journal on Mathematical Analysis, Bd. 19 (1988), Seiten 493–507, ISSN 0036-1410.
4. ↑ Edmund Taylor Whittaker, George N. Watson: A Course of Modern Analysis. 4. Aufl. Cambridge University Press, Cambridge 1990, ISBN 978-0-521-09189-3.