Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei ${\displaystyle \ (G,\cdot )}$ eine Gruppe und ${\displaystyle \circ :G\times M\rightarrow M}$ eine Operation von ${\displaystyle G}$ auf einer Menge ${\displaystyle M}$. Dann ist für jedes ${\displaystyle x\in M}$ die Abbildung

${\displaystyle G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x}$

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

• ${\displaystyle G\circ x:=\{g\circ x\ |\ g\in G\}\subseteq M}$ die Bahn von ${\displaystyle x}$,
• ${\displaystyle G_{x}:=\{g\in G\ |\ g\circ x=x\}\leq G}$ den Stabilisator von ${\displaystyle x}$ und
• ${\displaystyle G/G_{x}:=\{g\cdot G_{x}\ |\ g\in G\}\subseteq {\mathcal {P}}(G)}$ die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe ${\displaystyle G_{x}}$ in ${\displaystyle G}$.

Beweis

Siehe: Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

Im Fall ${\displaystyle |G\circ x|<\infty }$ ist ${\displaystyle (G:G_{x})=|G\circ x|}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \ (G:G_{x}):=|G/G_{x}|}$ den Index von ${\displaystyle G_{x}}$ in ${\displaystyle G}$. Für endliche Gruppen ${\displaystyle G}$ gilt daher die Bahnformel

${\displaystyle \ |G|=|G\circ x|\cdot |G_{x}|}$.

Beispiele

Konjugation

Jede Gruppe ${\displaystyle G}$ operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation ${\displaystyle g\circ x:=gxg^{-1}}$. Die Bahn ${\displaystyle G\circ x:=\{gxg^{-1}\ |\ g\in G\}}$ eines Elements ${\displaystyle x\in G}$ bezeichnet man als Konjugationsklasse von ${\displaystyle x}$. Der Stabilisator ${\displaystyle G_{x}:=\{g\in G\ |\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G\ |\ gx=xg\}}$ heißt Zentralisator von ${\displaystyle x}$ und wird mit ${\displaystyle Z_{G}(x)}$ bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen ${\displaystyle G}$

${\displaystyle |G|=|G\circ x|\cdot |Z_{G}(x)|}$.

Transitive Operation

Ist die Operation einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle M}$ transitiv, so ist

${\displaystyle |M|=|G\circ x|=(G:G_{x})}$.

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von ${\displaystyle M}$ ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch

• Gruppenoperation
• Eine elegante Anwendung der Bahnformel zeigt der Beweis von Ernst Witt (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.“
• Satz von Lagrange

Literatur

• Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124
• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bahn (Orbit) und Bahnformel. In: MathWorld (englisch). (englisch)