Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei eine Gruppe und eine Operation von auf einer Menge . Dann ist für jedes die Abbildung

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

  • die Bahn von ,
  • den Stabilisator von und
  • die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe in .

Beweis

Siehe: Wikibooks-logo.svg Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

Im Fall ist . Dabei bezeichnet den Index von in . Für endliche Gruppen gilt daher die Bahnformel

.

Beispiele

Konjugation

Jede Gruppe operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation . Die Bahn eines Elements bezeichnet man als Konjugationsklasse von . Der Stabilisator heißt Zentralisator von und wird mit bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen

.

Transitive Operation

Ist die Operation einer endlichen Gruppe auf transitiv, so ist

.

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch

Literatur

  • Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124
  • Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67

Weblinks