Auflösung (Blockplan)

Eine Auflösung^[1] eines 2-Blockplanes (einer speziellen Inzidenzstruktur) ist in der endlichen Geometrie eine Verallgemeinerung des Parallelismus von Blockplänen. So ist die Partition der Menge der d-dimensionalen Unterräume als Blöcke einer affinen Geometrie ${\displaystyle AG_{d}(n,q)}$ in Parallelenscharen eine 1-Auflösung dieser Geometrie als 2-Blockplan. Ein Blockplan, der eine Auflösung zulässt, heißt auflösbarer Blockplan,^[1] zerfällt bei dieser Auflösung die Blockmenge in eine maximale Anzahl c von verallgemeinerten Parallelen-Scharen, dann spricht man von einer starken Auflösung^[1] und nennt den Blockplan stark auflösbar.^[1]

• Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ ein ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan. Eine Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ist eine Partition der Blockmenge ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ in Scharen ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$, so dass es positive ganze Zahlen ${\displaystyle \{\rho _{1},\ldots ,\rho _{c}\}}$ gibt mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt in ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ auf genau ${\displaystyle \rho _{i}}$ Blöcken von ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$ liegt. Die Zahlen ${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{c}}$ heißen die Parameter der Auflösung. Sind alle Parameter einer Auflösung gleich ${\displaystyle \rho }$, so spricht man von einer ${\displaystyle \rho }$-Auflösung.
• Ein Blockplan heißt auflösbar bzw. ${\displaystyle \rho }$-auflösbar, wenn er eine Auflösung bzw. eine ${\displaystyle \rho }$-Auflösung besitzt.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen und gilt ${\displaystyle b+1=v+c}$, dann wird diese Auflösung starke Auflösung des Blockplanes und der Blockplan stark auflösbar genannt.
• Sind ${\displaystyle B,C\in {\mathfrak {B}}_{i}}$ zwei Blöcke eines auflösbaren Blockplanes in derselben Klasse ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$, dann schreibt man auch ${\displaystyle B\parallel C}$ und nennt die Blöcke parallel bezüglich der Auflösung. Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke.
• Für eine Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ setzt man ${\displaystyle m_{i}=|{\mathfrak {B}}_{i}|,1\leq i\leq c}$ für die Anzahl der Blöcke in der Schar ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{i}}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ ein ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan, der eine Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ mit den Parametern ${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{c}}$ besitzt. Dann gilt^[2]

1. ${\displaystyle m_{i}\cdot k=v\cdot \rho _{i},\quad (1\leq i\leq c),}$
2. ${\displaystyle \rho _{1}+\cdots +\rho _{c}=r,\quad m_{1}+\cdots +m_{c}=b,}$
3. Besitzt ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ eine ${\displaystyle \rho }$-Auflösung, so ist k ein Teiler von ${\displaystyle v\cdot \rho }$ und jede Klasse hat dieselbe Anzahl m von Blöcken.

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen, dann ist ${\displaystyle b+1\geq v+c}$.^[3] Eine starke Auflösung ist also eine Auflösung mit der für die Blockmenge ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ größtmöglichen Anzahl an Scharen.

• Der folgende Satz von Hughes und Piper^[4] charakterisiert die starken Auflösungen:

Sei ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ ein ${\displaystyle 2-(v,k,\lambda )}$-Blockplan mit b Blöcken, der eine Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ besitzt. Dann gilt ${\displaystyle b+1\geq v+c}$ und Gleichheit genau dann, wenn es zwei nichtnegative Zahlen ${\displaystyle \mu _{I}}$ („innere Schnittzahl“) und ${\displaystyle \mu _{A}}$ („äußere Schnittzahl“) mit folgenden Eigenschaften gibt:

• Je zwei verschiedene Blöcke derselben Klasse haben stets genau ${\displaystyle \mu _{I}}$ Schnittpunkte und
• je zwei Blöcke aus verschiedenen Klassen haben stets genau ${\displaystyle \mu _{A}}$ Schnittpunkte.

• Der Satz von Beker^[5] klärt die Frage, wann ein stark auflösbarer Blockplan ein 3-Blockplan ist:

Die stark auflösbaren 3-Blockpläne sind genau die Hadamard 3-Blockpläne.^[6]

• Jeder Blockplan ${\displaystyle {\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)}$ besitzt die triviale Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}\}}$, d. h. jeder Blockplan ist r-auflösbar. – Die Zahl ${\displaystyle r=b_{1}}$ gibt bei einem Blockplan an, mit wie vielen Blöcken ein beliebiger Punkt inzidiert.
• Ist ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ eine Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, dann erhält man wieder eine Auflösung von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt. Zum Beispiel sind ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1}\cup {\mathfrak {B}}_{2},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ und ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {B}}_{c-1},{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ wieder Auflösungen von ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$.
• Ein Blockplan ist genau dann 1-auflösbar, wenn er einen Parallelismus besitzt. Die Auflösung ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}}$ ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt ${\displaystyle c=r=b_{1}}$, die innere Schnittzahl ist dann ${\displaystyle \mu _{I}=0}$, die äußere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein.

• Speziell ist eine affine Geometrie ${\displaystyle AG_{d}(n,q)}$ mit ihrem gewöhnlichen Parallelismus 1-auflösbar und es gilt dann ${\displaystyle m_{i}=b/r}$, das heißt die Anzahl der Parallelen in jeder Schar ist gleich, die äußere Schnittzahl ist konstant, falls ${\displaystyle d=n-1}$, also die Blockmenge die Menge der Hyperebenen des Raumes ist.
• Jeder affine Blockplan ist durch seinen Parallelismus 1-auflösbar, auch hier ist ${\displaystyle m_{i}=b/r}$ für jede Parallelenschar gleich.

Jede Auflösung eines 2-Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle taktische Zerlegung dieses Blockplanes. Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes „Auflösung eines Blockplanes“ wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in (verallgemeinerte Parallelen-)Scharen auch die Punktmenge in mehrere „Punktklassen“ zerlegt.

Artikel zu Einzelfragen

• Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: On resolutions and Bose’s theorem. In: Geom. Dedicata. Band 5, 1976, S. 129–133, doi:10.1007/BF00148147. 
• Henry Beker: On strong tactical decompositions. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 16, 1977, S. 191–196 (Abstract [abgerufen am 2. Mai 2013]). 

Lehrbücher

• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. Blockpläne. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich / New York 1982, ISBN 3-411-01632-9, Kapitel 5. Auflösungen und Zerlegungen, S. 196–240. 
• Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1986, ISBN 0-521-33334-2. 
• D. R. Hughes, F. C. Piper: Projective planes. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1973 (Hier wird die Auflösbarkeit nur für die Spezialfälle der affinen Geometrien definiert und untersucht.). 

1. ↑ ^{a b c d} Beutelspacher (1982)
2. ↑ Beutelspacher (1982), Lemma 5.1.1
3. ↑ Beutelspacher (1982), Korollar 5.1.2
4. ↑ Hughes, Piper (1976); Beutelspacher (1982), Hauptsatz 5.1.9
5. ↑ Beker (1977)
6. ↑ Beutelspacher (1982), Satz 5.1.10