Asymptotische Dimension

In der Mathematik ist die asymptotische Dimension eine Invariante metrischer Räume, die vor allem in der geometrischen Gruppentheorie von Bedeutung ist.

Definition

Die asymptotische Dimension ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)}$ eines metrischen Raumes ${\displaystyle X}$ ist die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ mit folgender Eigenschaft:

für jedes ${\displaystyle R>0}$ gibt es eine Überdeckung von ${\displaystyle X}$ durch offene Mengen ${\displaystyle U_{\alpha }}$ von beschränktem Durchmesser, so dass für jedes ${\displaystyle x\in X}$ die metrische Kugel ${\displaystyle B(x,R)}$ höchstens ${\displaystyle n+1}$ dieser Mengen schneidet.

Beispiele

• Die asymptotische Dimension eines kompakten Raums ist 0.
• Die asymptotische Dimension des euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist ${\displaystyle n}$.
• Die asymptotische Dimension eines Gromov-hyperbolischen Raums ist ${\displaystyle 1+\dim(\partial _{\infty }X)}$, wobei ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ den Rand im Unendlichen bezeichnet.

Eigenschaften

• Aus ${\displaystyle Y\subset X}$ folgt ${\displaystyle \operatorname {asdim} (Y)\leq \operatorname {asdim} (X)}$.
• Die asymptotische Dimension ist invariant unter Quasi-Isometrien und allgemeiner unter groben Isometrien.
• Für Produkträume gilt ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X\times Y)\leq \operatorname {asdim} (X)+\operatorname {asdim} (Y)}$.
• Satz von Bell-Dranishnikov: Sei ${\displaystyle X}$ ein geodätischer metrischer Raum, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine Lipschitz-stetige Abbildung und für alle ${\displaystyle R>0}$ und alle ${\displaystyle y\in Y}$ sei ${\displaystyle \operatorname {asdim} (f^{-1}(B(y,R)))\leq n}$, dann gilt ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leq \operatorname {asdim} (Y)+n}$.

Weblinks

• Bell-Dranishnikov: Asymptotic Dimension