Assoziative Algebra

Assoziative Algebra ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Es handelt sich um eine algebraische Struktur, die den Begriff des Vektorraums bzw. des Moduls dahingehend erweitert, dass zusätzlich zur Vektoraddition eine assoziative Multiplikation als innere Verknüpfung definiert wird.

Definition

Ein Vektorraum ${\displaystyle A}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ oder ein Modul ${\displaystyle A}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung

${\displaystyle *\colon A\times A\longrightarrow A,\quad (a,b)\longmapsto a*b}$

heißt assoziative Algebra, wenn für alle ${\displaystyle a,b,c\in A}$ das folgende Assoziativgesetz gilt:

${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c.}$

Es handelt sich also um eine spezielle Algebra über einem Körper oder eine spezielle Algebra über einem kommutativen Ring.

Beispiele

• Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper ${\displaystyle K}$ bilden (mit der üblichen Multiplikation) eine assoziative Algebra über diesem Körper.
• Die Endomorphismen eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ bilden mit der Verkettung eine assoziative Algebra. Hierbei ist die Verknüpfung ${\displaystyle *}$ nicht kommutativ, sofern die Dimension von ${\displaystyle V}$ größer als 1 ist.
• Ist ${\displaystyle V}$ ein unendlichdimensionaler Vektorraum und betrachtet man nur die Endomorphismen mit endlich-dimensionalem Bild, erhält man ein Beispiel, bei dem ${\displaystyle *}$ kein Einselement hat.
• Der Vektorraum aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem beliebigen topologischem Raum bildet eine assoziative Algebra; dabei werden die Funktionen punktweise addiert und multipliziert.
• Der Vektorraum aller stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem Banachraum bildet eine assoziative Algebra, bzw. sogar eine Banach-Algebra.
• Der Matrizenraum aller ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine assoziative Algebra.
• Die komplexen Zahlen bilden eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen.
• Die Quaternionen sind eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen, aber nicht über den komplexen Zahlen.

Literatur

• Serge Lang: Algebra. Revised 3rd Edition, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-95385-X