arg max

Der Operator arg max (argumentum maximi, dt. Argument des Maximums) ist eine in der Analysis und Optimierung verwendete Funktion zur Berechnung der Stelle, an der eine Funktion ihr Maximum annimmt. Analog dazu wird der Operator arg min benutzt. Es handelt sich in beiden Fällen nicht um eine Funktion, sondern um eine "Programmanweisung".

Definition

Die normierte und nicht-normierte sinc Funktion haben ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$ 0, da ihr maximaler Wert 1 an der Stelle x = 0 angenommen wird.

Ist ${\displaystyle D}$ der Definitionsbereich einer Funktion ${\displaystyle f}$, dann ist ${\displaystyle \arg \max }$ von ${\displaystyle f}$ die Stelle ${\displaystyle x_{\mathrm {max} }}$, an der die Funktion ihr Maximum annimmt, das heißt

${\displaystyle x_{\mathrm {max} }={\underset {x\in D}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\Leftrightarrow f(x_{\mathrm {max} })=\max _{x\in D}f(x).}$

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich. Dieser Wert ist nicht wohldefiniert, falls die Funktion ihr Maximum an mehreren Stellen annimmt oder kein Maximum hat.

Beispiel

Die Funktion ${\displaystyle f(x)=x(10-x)}$ besitzt den maximalen Wert ${\displaystyle 25}$, der an der Stelle ${\displaystyle x_{\mathrm {max} }=5}$ angenommen wird. Daher gilt

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}(x(10-x))=5.}$

Alternative Definition

Um Wohldefiniertheit zu erreichen, wird ${\displaystyle \arg \max }$ alternativ auch als mengenwertige Funktion erklärt:

${\displaystyle {\underset {x\in D}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in D\ |\ f(x){\text{ maximal}}\}=\{x\in D\ |\ \forall y\in D\ f(y)\leq f(x)\}=f^{-1}\left(\max _{x\in D}f(x)\right)}$

Analog dazu wird

${\displaystyle {\underset {x\in D}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in D\ |\ f(x){\text{ minimal}}\}=\{x\in D\ |\ \forall y\in D\ f(y)\geq f(x)\}=f^{-1}\left(\min _{x\in D}f(x)\right)}$

definiert.

Beispiel

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}.}$

Literatur

• Peter Gritzmann Grundlagen der Mathematischen Optimierung, Springer, 2013, ISBN 978-3-528-07290-2, Seite 3.