Approximationssatz von Lück

Der Approximationssatz von Lück ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie. Er setzt die L²-Betti-Zahlen ${\displaystyle b_{k}^{(2)}(X)}$ eines Raumes ${\displaystyle X}$ in Beziehung zu den üblichen Betti-Zahlen ${\displaystyle b_{k}(X_{i})}$ seiner endlichen Überlagerungen ${\displaystyle X_{i}}$.

Aussage des Satzes

Sei ${\displaystyle X}$ ein endlicher CW-Komplex mit residuell endlicher Fundamentalgruppe ${\displaystyle \Gamma }$. Wegen der residuellen Endlichkeit gibt es eine absteigende Kette von Normalteilern mit ${\displaystyle \left[\Gamma \colon \Gamma _{i}\right]<\infty }$ und ${\displaystyle \bigcap _{i}\Gamma _{i}=0}$. Sei ${\displaystyle X_{i}}$ die Überlagerung von ${\displaystyle X}$ mit Deckgruppe ${\displaystyle \Gamma _{i}}$. Dann ist

${\displaystyle b_{k}^{(2)}(X)=\lim _{i\to \infty }{\frac {b_{k}(X_{i})}{\left[\Gamma \colon \Gamma _{i}\right]}}.}$

Sei insbesondere ${\displaystyle \Gamma }$ eine endlich präsentierte, residuell endliche Gruppe und ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{0}\supset \Gamma _{1}\supset \Gamma _{2}\supset \ldots }$ eine absteigende Kette von Normalteilern mit ${\displaystyle \left[\Gamma \colon \Gamma _{i}\right]<\infty }$ und ${\displaystyle \bigcap _{i}\Gamma _{i}=0}$, dann ist

${\displaystyle b_{k}^{(2)}(\Gamma )=\lim _{i\to \infty }{\frac {b_{k}(\Gamma _{i})}{\left[\Gamma \colon \Gamma _{i}\right]}}.}$

Der Approximationssatz gilt auch für Homologie mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper der Charakteristik Null.

Verallgemeinerung für Gitter in symmetrischen Räumen

Sei ${\displaystyle X}$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ und ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ eine gleichmäßig diskrete Folge von kokompakten Gittern in ${\displaystyle X}$, für die ${\displaystyle \Gamma _{n}\backslash X}$ gegen ${\displaystyle X}$ Benjamini-Schramm-konvergiert. Dann ist

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {b_{k}(\Gamma _{i})}{\operatorname {vol} (\Gamma _{i}\backslash X)}}=\beta _{k}^{(2)}(X)}$

mit

${\displaystyle \beta _{k}^{(2)}(X)=0}$ für ${\displaystyle k\not ={\frac {1}{2}}\dim(X)}$

und

${\displaystyle \beta _{{\frac {1}{2}}\dim(X)}^{(2)}(X)={\frac {\chi (X^{d})}{\operatorname {vol} (X^{d})}}}$

für den zu ${\displaystyle X}$ dualen kompakten symmetrischen Raum.^[1]

Literatur

• Wolfgang Lück: Approximating L2-invariants by their finite-dimensional analogues. GAFA 4 (1994), S. 458–490.
• Pierre Pansu: Introduction to L2 -Betti numbers.
• Michail Gromov: Asymptotic Invariants of Infinite Groups. (Chapter 8)
• Wolfgang Lück: L2-Invariants: Theory and Applications to Geometry and K-Theory.

Einzelnachweise

1. ↑ Miklos Abert, Nicolas Bergeron, Ian Biringer, Tsachik Gelander, Nikolay Nikolov, Jean Raimbault, Iddo Samet: On the growth of L²-invariants for sequences of lattices in Lie groups. Ann. Math. 185 (2017), S. 711–790