Anosovs Schließungslemma

In der Theorie dynamischer Systeme besagt Anosovs Schließungslemma, dass sich geschlossene Pseudo-Orbiten eines dynamischen Systems durch periodische Orbiten approximieren lassen. Es wurde von Dmitri Wiktorowitsch Anossow bewiesen.^[1]

Schließungslemma

Sei ${\displaystyle \Lambda \subset M}$ eine hyperbolische Menge eines Diffeomorphismus ${\displaystyle f\colon M\to M}$.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle \Lambda }$ und positive Zahlen ${\displaystyle C,\epsilon _{0}>0}$, so dass es für alle ${\displaystyle \epsilon <\epsilon _{0}}$ zu jedem geschlossenen ${\displaystyle \epsilon }$-Pseudo-Orbit ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n-1}}$ der Länge ${\displaystyle n}$ ein ${\displaystyle y\in M}$ mit

${\displaystyle f^{n}(y)=y}$

gibt mit

${\displaystyle d(f^{k}(y),x_{k})<C\epsilon }$ für ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$.

Literatur

• Anatole Katok, Boris Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. With a supplementary chapter by Katok and Leonardo Mendoza. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. ISBN 0-521-34187-6
• D. V. Anosov, E. V. Zhuzhoma: Closing Lemmas, Differential Equations, Band 48, 2012, S. 1653–1699 (Kapitel 4 Anosov Lemma, S. 1672)

Weblinks

• Hasselblatt: Hyperbolic dynamical systems (Kapitel 3.2)

Einzelnachweise

1. ↑ Anosov, Geodesic flows on closed Riemannian Manifolds of negative curvature, Tr. Math. Inst. Akad. Nauka SSSR, Band 90, Moskau: Nauka 1967