Anosov-Diffeomorphismus

In der Mathematik sind Anosov-Diffeomorphismen, benannt nach Dmitri Wiktorowitsch Anossow, ein gut verstandenes Beispiel chaotischer Dynamik. Sie zeigen einerseits alle typischen Effekte chaotischen Verhaltens, sind andererseits aber einer mathematischen Behandlung gut zugänglich.

Definition

Ein Diffeomorphismus ${\displaystyle f\colon M\to M}$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ heißt Anosov-Diffeomorphismus, wenn es eine stetige, ${\displaystyle f}$-invariante Zerlegung

${\displaystyle TM=E^{s}\oplus E^{u}}$

des Tangentialbündels ${\displaystyle TM}$ gibt, so dass ${\displaystyle E^{s}}$ bzw. ${\displaystyle E^{u}}$ durch ${\displaystyle Df}$ gleichmäßig kontrahiert bzw. expandiert werden, d. h., es gibt ${\displaystyle 0<\lambda <1,C>0}$ mit

${\displaystyle \|Df^{m}(v^{s})\|\leq C\lambda ^{m}\|v^{s}\|\quad \forall v^{s}\in E^{s},m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \|Df^{-m}(v^{u})\|\geq C\lambda ^{m}\|v^{u}\|\quad \forall v^{u}\in E^{u},m\in \mathbb {N} }$.

Die Unterbündel ${\displaystyle E^{s}}$ und ${\displaystyle E^{u}}$ heißen stabiles und instabiles Bündel.

Beispiel

Das Bild zeigt, wie die Abbildung mit der Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}\right)}$ das Einheitsquadrat verformt und wie die Stücke modulo 1 neu arrangiert werden. Die gestrichelten Linien geben die Richtungen maximaler Streckung und Stauchung an, sie entsprechen den Eigenvektoren der Matrix.

Die durch

${\displaystyle F(x,y)=(2x+y,x+y)\mod 1}$

oder in Matrixnotation

${\displaystyle F\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mod 1={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mod 1}$

definierte Selbstabbildung des Torus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ist ein Anosov-Diffeomorphismus: die Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}\right)}$ hat zwei Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{1}>1}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}<1}$, die Eigenvektoren liefern eine Zerlegung

${\displaystyle T_{x}T^{2}=E_{x}^{u}\oplus E_{x}^{s}}$

in jedem Punkt ${\displaystyle x\in T^{2}}$, wobei ${\displaystyle E_{x}^{u}}$ und ${\displaystyle E_{x}^{s}}$ nach der kanonischen Identifizierung

${\displaystyle T_{x}T^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}}$

den Eigenvektoren zu ${\displaystyle \lambda _{1}}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}}$ entsprechen. Die Projektionen der zu den Eigenvektoren parallelen Geraden auf den Torus sind die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Abbildung.

Existenz

Eine Vermutung von Smale besagt, dass es Anosov-Diffeomorphismen nur auf Mannigfaltigkeiten gibt, die zu einer Infranilmannigfaltigkeit homöomorph sind. Auf Infranilmannigfaltigkeiten ${\displaystyle G/\Gamma }$ sind Anosov-Diffeomorphismen stets zu affinen (d. h. von einem Homomorphismus ${\displaystyle G\to G}$ induzierten) Abbildungen konjugiert.^[1][2] Es gibt aber Anosov-Diffeomorphismen auf Mannigfaltigkeiten, die zu einer Infranilmannigfaltigkeit nur homöomorph (und nicht diffeomorph) sind.^[3]

Literatur

Stephen Smale: Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc. 73 1967 747–817 pdf

Einzelnachweise

1. ↑ John Franks: Anosov diffeomorphisms. Proc. Symp. in Pure Math of AMS 14, 61-94, 1968
2. ↑ Anthony Manning: There are no new anosov diffeomorphisms on tori. Amer. Jour. of Math. 96, 424 – 429, 1974
3. ↑ F. T. Farrell, L. E. Jones: Anosov diffeomorphisms constructed from ${\displaystyle \pi _{1}}$ Diff ${\displaystyle (S^{n})}$, Topology 17, 273–282, 1978