Anfangszahl

Der Begriff der Anfangszahl (englisch initial number oder initial ordinal) entstammt der Mengenlehre. Hier versteht man unter einer Anfangszahl die kleinste Ordinalzahl einer Mächtigkeitsklasse.

Der Begriff hängt direkt mit der Klasseneinteilung der unendlichen Ordinalzahlen nach ihrer Mächtigkeit zusammen. In jeder der dabei gebildeten Zahlklassen ist die Anfangszahl die (eindeutig bestimmte) kleinste Ordinalzahl innerhalb ihrer Klasse. Anfangszahlen und Alephs stehen zueinander in umkehrbar eindeutiger Beziehung (Bijektion).

Definition

Einer beliebigen unendlichen Kardinalzahl ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ wird eine Klasse ${\displaystyle Z({\mathfrak {m}})}$ von Ordinalzahlen zugeordnet, die auch als Zahlklasse zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ bezeichnet wird, die alle ${\displaystyle \eta \in \mathbf {On} }$ enthält, für die ${\displaystyle \left|\eta \right|={\mathfrak {m}}}$ gilt. Die Zahlklasse ${\displaystyle Z({\mathfrak {m}})}$ enthält ein eindeutig bestimmtes Minimum, das mit ${\displaystyle \omega ({\mathfrak {m}})}$ notiert wird und die zu ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ gehörige Anfangszahl^[1] oder die Anfangszahl der Mächtigkeit ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$^[2] genannt wird.

Ist ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\aleph _{\alpha }}$ für ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {On} }$, so setzt man ${\displaystyle \omega _{\alpha }=\omega (\aleph _{\alpha })}$.

Eigenschaften

Die Anfangszahlen haben folgende Eigenschaften:^{[3][4][5][6][7][8]}

1. Keine Anfangszahl ist gleichmächtig einer Ordinalzahl, welche innerhalb der Ordinalzahlen ${\displaystyle \mathrm {On} }$ echt kleiner ist als sie selbst.
2. ${\displaystyle \omega _{0}=\omega }$^[9]
3. Bezeichnet man mit ${\displaystyle h}$ die Hartogs-Zahl-Funktion, so ist stets ${\displaystyle \omega _{\tau +1}=h(\omega _{\tau })}$.
4. ${\displaystyle \omega _{\lambda }=\sup\{\,\omega _{\tau }|\tau <\lambda \,\}}$, falls ${\displaystyle \lambda }$ eine Limeszahl ist
5. ${\displaystyle \left|\omega _{\tau }\right|=\aleph _{\tau }}$
6. ${\displaystyle Z(\aleph _{\tau })=\{\,\eta \in \mathrm {On} \mid \omega _{\tau }\leq \eta <\omega _{\tau +1}\,\}}$
7. Zu jeder Anfangszahl ${\displaystyle \alpha }$ gibt es ein ${\displaystyle \tau \in \mathrm {On} }$ mit ${\displaystyle \alpha =\omega _{\tau }}$.
8. Jede Anfangszahl ist eine Limeszahl.
9. Für jedes ${\displaystyle \tau \in \mathrm {On} }$ hat ${\displaystyle Z(\aleph _{\tau })}$ den Ordnungstypus ${\displaystyle \omega _{\tau +1}}$ und somit die Mächtigkeit ${\displaystyle \aleph _{\tau +1}}$.
10. Für ${\displaystyle \sigma ,\tau \in \mathrm {On} }$ gilt ${\displaystyle \omega _{\sigma }=\omega _{\tau }}$ genau dann, wenn ${\displaystyle \sigma =\tau }$.
11. Für ${\displaystyle \sigma ,\tau \in \mathrm {On} }$ gilt ${\displaystyle \omega _{\sigma }<\omega _{\tau }}$ genau dann, wenn ${\displaystyle \sigma <\tau }$.

Anmerkungen

1. Neben der Schreibung ${\displaystyle \omega _{\tau }}$ findet man auch die Schreibung ${\displaystyle \Omega _{\tau }.}$^[10]
2. Manche Autoren fassen die Begriffe Aleph und Anfangszahl gleich auf.^[11][12]
3. Die erste obige Eigenschaft (1.) ist in gewissem Sinne charakteristisch für die Anfangszahlen, könnte also zur Definition herangezogen werden.^[13] Geht man so vor, so hat man auch endliche Anfangszahlen, also die natürlichen Zahlen, zu betrachten.
4. Georg Cantor folgend bezeichnet man als erste Zahlklasse die Menge der natürlichen Zahlen, während man ${\displaystyle Z(\aleph _{0})}$ die zweite Zahlklasse nennt.^[14][15] Die erste Zahlklasse hat demnach die Mächtigkeit ${\displaystyle \aleph _{0}}$, die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit ${\displaystyle \aleph _{1}}$. Das berühmte Kontinuumsproblem lässt sich daher auch mit der Frage gleichsetzen, ob die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit des Kontinuums hat.^[16]
5. Im Zusammenhang mit den Anfangszahlen hat Felix Hausdorff den nach ihm benannten Satz von Hausdorff formuliert.

Literatur

• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1958 (MR0095787). 
• Erich Kamke: Mengenlehre (= Sammlung Göschen. 999/999a). 6. Auflage. De Gruyter, Berlin 1969. 
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1994, ISBN 3-411-17113-8. 
• P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktionen (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 23). 6. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973. 
• Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 9). 3., umgearbeitete und stark erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1928. 
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York, NY 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991). 
• Karel Hrbacek - Thomas Jech: Introduction to Set Theory (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 85). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Dekker, New York (u. a.) 1984, ISBN 0-8247-7074-9. 
• Dieter Klaua: Allgemeine Mengenlehre. Akademie-Verlag, Berlin 1964. 
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1994, ISBN 3-411-17271-1. 

Einzelnachweise

1. ↑ Kamke: S. 174
2. ↑ Alexandroff: S. 79
3. ↑ Alexandroff: S. 79 ff.
4. ↑ Fraenkel: S. 192 ff.
5. ↑ Kamke: S. 174 ff.
6. ↑ Hrbacek-Jech: S. 132 ff.
7. ↑ Oberschelp: S. 189 ff.
8. ↑ Sierpiński: S. 391 ff.
9. ↑ ${\displaystyle \omega _{0}}$ besteht also genau aus den natürlichen Zahlen.
10. ↑ Klaua: S. 289
11. ↑ Ebbinghaus: S. 134 ff.
12. ↑ Hrbacek-Jech: S. 135
13. ↑ Vgl. Hrbacek-Jech: S. 133
14. ↑ Kamke: S. 181
15. ↑ Klaua: S. 290
16. ↑ Kamke: S. 181