Algebraische Struktur

Wichtige algebraische Strukturen
Algebraische Axiome der GruppeRingkommutativer
Ring
Schiefkörper
(Divisionsring)
Körper
Kommutativgesetz bzgl. der Addition
(additiv-kommutative Gruppe)
JaJaJaJa
DistributivgesetzJaJaJaJa
Kommutativgesetz bzgl. der Multiplikation
(multiplikativ-kommutative Gruppe)
NeinJaNeinJa
Multiplikativ Inverses existiert
für jedes Element außer 0.
NeinNeinJaJa

Der Begriff der algebraischen Struktur (oder universellen Algebra, allgemeinen Algebra oder nur Algebra) ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand des mathematischen Teilgebietes der universellen Algebra. Eine algebraische Struktur ist gewöhnlich eine Menge, versehen mit Verknüpfungen auf dieser Menge. Eine Vielzahl der in der abstrakten Algebra untersuchten Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper sind spezielle algebraische Strukturen.

Algebraische Strukturen können auch aus mehreren Mengen zusammen mit Verknüpfungen auf und zwischen diesen Mengen bestehen. Sie werden dann heterogene Algebren genannt, prominentestes Beispiel sind Vektorräume (mit Vektoren und Skalaren).

Definition der algebraischen Struktur

Eine algebraische Struktur oder allgemeine Algebra ist ein geordnetes Paar

bestehend aus einer nichtleeren Menge der Grundmenge oder Trägermenge der Algebra, und einer Familie von inneren (endlichstelligen) Verknüpfungen, auch Grundoperationen oder fundamentale Operationen genannt, auf

Eine innere -stellige Verknüpfung auf ist eine Funktion die Elemente aus immer auf ein Element aus abbildet. Eine nullstellige Verknüpfung auf kann als ein eindeutig bestimmtes, ausgezeichnetes Element in eine Konstante, interpretiert werden. Konstanten werden meist mit einem speziellen Symbol (z. B. einem Buchstaben oder einem Zahlzeichen wie ) bezeichnet. Eine innere einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von nach die oft durch ein Symbol bezeichnet wird, das unmittelbar (d. h. ohne zusätzliche Klammern oder Trennzeichen) vor, hinter, über etc. das Element (Argument) geschrieben wird.

Beispiele:

Beim Bild einer zweistelligen Verknüpfung wird in der Regel das Verknüpfungssymbol zur Vereinfachung zwischen die beiden Argumente geschrieben.

Beispiele: an Stelle von

Meistens hat eine Algebra nur endlich viele fundamentale Operationen man schreibt dann für die Algebra einfach nur

Der (Ähnlichkeits-) Typ (auch Signatur) einer Algebra ordnet jedem Index die jeweilige Stelligkeit der fundamentalen Operation zu, d. h., er ist eine Funktion für Der Typ kann ebenso als Familie geschrieben werden: [1]

So wird zum Beispiel eine Gruppe meist als Struktur aufgefasst, wobei die Trägermenge ist, eine zweistellige Verknüpfung von nach eine Konstante in und eine einstellige Verknüpfung von nach Eine Gruppe ist damit eine Algebra vom Typ

Bemerkungen

  • Manchmal erweist es sich auch als zweckmäßig, die leere Menge als Trägermenge einer Algebra zuzulassen – etwa, damit sichergestellt ist, dass die Menge aller Unteralgebren (siehe unten) einer Algebra einen algebraischen Verband bildet.
  • Jede nichtleere Menge lässt sich zu einer trivialen Algebra machen mit der identischen Abbildung Alternativ kann man auch eine leere Indexmenge zuzulassen,[2] sodass als eine triviale Algebra mit einer leeren Familie von Verknüpfungen aufgefasst werden kann.
  • Man könnte sogar „unendlichstellige Algebren“ mit unendlichstelligen Verknüpfungen zulassen (z. B. σ-Algebren), dies würde jedoch dem üblichen Verständnis von „algebraisch“ widersprechen.[3]
  • Eine Verallgemeinerung allgemeiner (vollständiger) Algebren sind partielle Algebren, bei denen nicht nur totale Funktionen, sondern auch partielle Funktionen als Verknüpfung zugelassen sind.[4] Z. B. sind Körper streng genommen keine vollständigen Algebren, weil nur auf definiert ist.

Arten algebraischer Strukturen

Die jeweiligen Verknüpfungen von Algebren des gleichen Typs besitzen oft noch gemeinsame Eigenschaften, sodass man Algebren nach ihrem Typ und nach den Eigenschaften ihrer Verknüpfungen in verschiedene Klassen einteilen kann. Die Eigenschaften der konkret gegebenen Verknüpfungen einer Algebra spezifiziert man näher durch Axiome, die in der abstrakten Algebra (einem Teilgebiet der Mathematik) meist in Form von Gleichungen geschrieben werden und die Art der Algebra festlegen.

Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz für eine innere zweistellige Verknüpfung auf einer Menge

für alle Elemente aus

Erfüllt nun die zweistellige Operation einer Algebra dieses Axiom (ersetze durch und durch ), dann gehört die Algebra zur Klasse der Halbgruppen, das heißt, sie ist eine Halbgruppe.

Unterstrukturen (Unteralgebren)

Ist die Grundmenge einer algebraischen Struktur, so kann man mit Hilfe der Verknüpfungen von auf einer Teilmenge von A eine neue algebraische Struktur des gleichen Typs definieren, falls die Menge so gewählt ist, dass die Verknüpfungen der ursprünglichen Struktur nicht aus der Menge herausführen. Das bedeutet, wenn man die Verknüpfungen der ursprünglichen algebraischen Struktur auf die Elemente von anwendet, dürfen keine Elemente entstehen, die nicht in sind – insbesondere müssen die Konstanten bereits in enthalten sein. In der konkreten Anwendung sind z. B. Untergruppen die Unterstrukturen einer Gruppe.

Homomorphismen

Strukturtreue Abbildungen, sogenannte Homomorphismen, zwischen je zwei algebraischen Strukturen und von derselben Art (sie haben also Verknüpfungen von jeweils gleichen Stelligkeiten und gleichen gegebenen spezifischen Eigenschaften) sind mit den Verknüpfungen der beiden algebraischen Strukturen verträglich. Jede algebraische Struktur hat deshalb ihren eigenen Homomorphismus-Begriff und definiert daher eine Kategorie.

Einander entsprechende Verknüpfungen in und werden meist mit dem gleichen Symbol bezeichnet. So wird etwa in jeder betrachteten Gruppe die Gruppenoperation einheitlich z. B. geschrieben. Müssen im Einzelfall die beiden Verknüpfungen auseinandergehalten werden, werden in der Regel die Symbole ihrer Grundmengen oder ähnliches als Indizes beigefügt, also z. B. und . Ein Homomorphismus ist eine Funktion, die für jede Verknüpfung (mit der Stelligkeit ) die folgende Bedingung erfüllt:

Die besonderen Schreibweisen der null-, ein- und zweistelligen Verknüpfungen werden berücksichtigt:

  • Sind jeweils die Konstanten nullstelliger Verknüpfungen, dann ist
  • Ist jeweils eine einstellige Verknüpfung, dann ist Eine einstellige Verknüpfung kann auch als Exponent, Index usw. geschrieben werden: Mit und ergibt sich z. B.
  • Für zweistellige Verknüpfungen ist

Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt, ein injektiver Monomorphismus. Ein Homomorphismus von in sich (also falls gilt) heißt Endomorphismus. Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ebenfalls ein Homomorphismus ist, heißt Isomorphismus. Ist der Isomorphismus zugleich Endomorphismus, so heißt er Automorphismus.

Siehe auch: Homomorphiesatz.

Bilder

Ist ein Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen desselben Typs und denselben zu erfüllenden Gleichungen, so ist die Bildmenge eine Unterstruktur von .[5]

Ist nämlich eine -stellige Funktion und sind , so gibt es mit und aus der Homomorphieeigenschaft folgt . Also ist unter allen abgeschlossen. Da die Gleichungen erst recht in Teilmengen erfüllt sind, ist eine Unterstruktur.

Kongruenzrelationen

Auf algebraischen Strukturen lassen sich spezielle Typen von Äquivalenzrelationen finden, die mit den Verknüpfungen einer algebraischen Struktur verträglich sind. Diese werden dann Kongruenzrelationen genannt. Mit Hilfe von Kongruenzrelationen lassen sich Faktoralgebren bilden, d. h., es wird aus der ursprünglichen algebraischen Struktur eine Struktur gleichen Typs erzeugt, deren Elemente allerdings dann die Äquivalenzklassen bezüglich der Kongruenzrelation sind. Die Verknüpfungen sind aufgrund der speziellen Eigenschaften der Kongruenzrelation wohldefiniert. In vielen konkreten Anwendungen entsprechen die Äquivalenzklassen den Neben- bzw. Kongruenzklassen bestimmter Unterstrukturen, z. B. der Normalteiler bei Gruppen oder der Ideale bei Ringen.

Produkte

Bildet man das mengentheoretische direkte Produkt der Grundmengen mehrerer allgemeiner Algebren des gleichen Typs, so kann man wiederum eine neue Algebra gleichen Typs auf dieser Produktmenge erhalten, indem man die neuen Verknüpfungen dieser Algebra komponentenweise durch die Verknüpfungen der ursprünglichen Algebren definiert. Diese kann allerdings andere Eigenschaften haben, als die ursprüngliche Algebra; z. B. muss das Produkt von Körpern nicht mehr ein Körper sein.

Für eine Verallgemeinerung des direkten Produktes von Algebren siehe: Subdirektes Produkt. Dort wird auch der Darstellungssatz von Birkhoff vorgestellt, nach dem jede Algebra subdirektes Produkt subdirekt irreduzibler Algebren ist.

„Zoo“ der algebraischen Strukturen

Beispiel: Gruppen

Als Beispiel für die Definition einer algebraischen Struktur betrachten wir eine Gruppe. Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als ein Paar bestehend aus einer Menge und einer zweistelligen Verknüpfung sodass für alle in die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

  • (Assoziativität).
  • Es gibt ein in , sodass (Existenz eines neutralen Elementes).
  • Zu jedem gibt es ein in , sodass (Existenz inverser Elemente).

Manchmal findet man noch die Forderung der „Abgeschlossenheit“, dass wieder in liegen soll, aber aus der Sicht eines Algebraikers beinhaltet der Begriff der „zweistelligen Verknüpfung“ diese Eigenschaft bereits.

Diese Definition hat aber die Eigenschaft, dass die Axiome nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt werden, sondern auch den Existenzquantor „es gibt … sodass“ enthalten; in der allgemeinen Algebra versucht man deshalb solche Axiome zu vermeiden (Quantorenelimination). Die Vereinfachung der Axiome auf eine reine Gleichungsform ist hier nicht schwierig: Wir fügen eine nullstellige Verknüpfung und eine einstellige Verknüpfung hinzu und definieren eine Gruppe als ein Quadrupel mit einer Menge einer zweistelligen Verknüpfung einer Konstanten und einer einstelligen Verknüpfung , die den folgenden Axiomen genügen:

Es ist nun wichtig zu prüfen, ob damit tatsächlich die Definition einer Gruppe erreicht wurde. Es könnte ja sein, dass dadurch noch nicht alle Eigenschaften einer Gruppe gegeben sind oder gar zu viele. Tatsächlich sind die beiden Definitionen einer Gruppe gleichwertig.

Beispiele von algebraischen Strukturen

Hierarchie algebraischer Strukturen (obere erfüllen mehr, untere weniger Gesetze)

In der folgenden Liste werden alle (zweistelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= nullstellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= einstellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben.

Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die mehrstelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen.

Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen:

  • Gruppoid oder Magma, auch Binar oder Operativ eine nichtleere Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung
  • Halbgruppe ein assoziatives Gruppoid.
  • Halbverband eine kommutative Halbgruppe, in der jedes Element idempotent ist.
  • Monoid eine Halbgruppe mit einem neutralen Element
  • Gruppe ein Monoid mit einem inversen Element zu jedem Element
  • Abelsche Gruppe eine kommutative Gruppe. Abelsche Gruppen werden bevorzugt additiv geschrieben und dann Moduln genannt, das Inverse eines Elements bezeichnet man nun als das Entgegengesetzte
  • Halbring eine Menge mit zwei Verknüpfungen (Addition) und (Multiplikation), mit denen und Halbgruppen sind und die Distributivgesetze erfüllt werden. Oft soll aber auch noch kommutativ sein und/oder ein neutrales Element 0, das Nullelement des Halbringes, besitzen: Die Definitionen sind hier nicht einheitlich!
  • Verband eine Menge mit zwei Verknüpfungen (Vereinigung) und (Durchschnitt), sodass und kommutative Halbgruppen sind und die Absorptionsgesetze erfüllt werden. und sind dann Halbverbände.
  • Boolescher Verband oder Boolesche Algebra und sind kommutative Monoide, ist ein Halbring und zu jedem Element gibt es ein Komplement
  • Ring ist eine abelsche Gruppe und ein Halbring.
  • Modul über einem Ring : eine abelsche Gruppe mit Funktionen für jedes Ringelement , die für die skalare Multiplikation mit stehen, und Gleichungen, die die Modulaxiome widerspiegeln.
  • Vektorraum: ist ein Modul über einem Körper.

Versehen mit weiterer Struktur, Internalisierung

Algebraische Strukturen können mit Zusatzstrukturen ausgestattet werden, z. B. mit einer Topologie. Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer Gruppenstruktur, sodass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl eine topologische, als auch eine algebraische Struktur. Andere häufig verwendete Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen. Abstrakt gesprochen sind die Verknüpfungen in solchen Strukturen nun Morphismen in einer bestimmten Kategorie, etwa der der topologischen Räume im Fall topologischer Gruppen. Man spricht von einer Internalisierung in diese Kategorie. Im Spezialfall gewöhnlicher algebraischer Strukturen sind die Verknüpfungen Morphismen in der Kategorie der Mengen, also Funktionen.[6]

Verallgemeinerungen

Verallgemeinerungen algebraischer Strukturen sind die partiellen Algebren und die relationalen Strukturen.

Struktur (erster Sufe)

Wird zusätzlich zu der Familie von Funktionen noch eine Familie von Relationen zugelassen, liegt eine allgemeinere Struktur (erster Stufe) vor:

Diese Definition umfasst insbesondere relationale Strukturen (mit leerer Indexmenge oder äquivalent ohne die Familie von Funktionen). In der Literatur werden diese allgemeineren Strukturen allerdings manchmal ebenfalls als algebraische Strukturen bezeichnet (insbesondere, wenn man die Gleicheitsrelation in einer algebraischen Struktur explizit mit aufführen möchte).[2]

Partielle Algebren

Ersetzt man in der obigen Definition den Begriff Verknüpfungen durch partielle Verknüpfungen, dann spricht man von einer partiellen Algebra. Die Verknüpfungen müssen hier nicht für alle Kombinationen von Parametern (-Tupel-Kombinationen) definiert sein.

Äußere Verknüpfungen und heterogene Algebren

Eine weitere Verallgemeinerung bietet die Definition nach Wolfgang Kowarschick, bei der auch neben den in der obigen Definition zugelassenen Funktionen als „inneren“ algebraischen Verknüpfungen oder Operationen sogenannte „äußere algebraische Operationen“ mit einem festen (für alle diese Verknüpfungen identischen) „Operatorenbereich“ zulässt.[7] Im Prinzip entspricht dies einer heterogenen Algebra mit den Trägermengen und , bei der nur eine untergeordnete Rolle spielt (Beispiel Vektorraum).

Literatur

  • Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd ed. AMS, Providence RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
  • Stanley Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra. Millennium Edition. 2012 Update, ISBN 978-0-9880552-0-9 (math.uwaterloo.ca [PDF; 4,4 MB]).
  • Paul M. Cohn: Universal Algebra. Harper & Row, New York 1965.
  • H. Ehrig, B. Mahr, F. Cornelius, M. Grosse-Rhode, P. Zeitz: Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-41923-3.
  • Roger Godement: Algebra. Hermann, Paris 1968.
  • George Grätzer: Universal Algebra. Van Nostrant, Princeton NJ u. a. 1968.
  • Pierre Antoine Grillet: Abstract Algebra. 2nd ed. Springer, New York 2007, ISBN 978-0-387-71567-4.
  • Thomas Ihringer: Allgemeine Algebra. Mit einem Anhang über Universelle Coalgebra von H. P. Gumm (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 10). Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.
  • Nathan Jacobson: Basic Algebra. Vol. I/II, 2nd ed. 1985/1989. Freeman, San Francisco, ISBN 0-7167-1480-9/0-7167-1933-9.
  • K. Meyberg: Algebra. Teil 1/2, 1975/1976. Hanser, München, ISBN 3-446-11965-5/3-446-12172-2.
  • B. L. van der Waerden: Algebra I/II. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. 9./6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1993, ISBN 978-3-642-85528-3/978-3-642-63446-8.
  • Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.
  • Jorge Martinez: Ordered Algebraic Structures. Springer, 2002, ISBN 1-4020-0752-3.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Man kann die Indexmenge verstehen als ein Alphabet von Bezeichnern der Funktionen. Als Signatur wird dann gelegentlich das Paar bezeichnet.
  2. a b algebraische Struktur. In: Spektrum.de. Lexikon der Mathematik.
  3. G. Birkhoff: Lattice Theory.
  4. G. Grätzer: Universal Algebra.
  5. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. Springer, 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Definition 4.2.3, S. 88f.
  6. Matt Noonan: The Bianchi Identity in Path Space. (PDF; 157 kB) 15. Januar 2007, S. 6, archiviert vom Original am 27. Oktober 2016; abgerufen am 19. November 2021.
  7. Definition: Algebraische Struktur (Wolfgang Kowarschick). Glossar der Hochschule Augsburg.
    Algebraische Operation: Definition (von W. Kowarschick). Glossar der Hochschule Augsburg.

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Autor/Urheber: Josef Sniatecki, Lizenz: CC BY-SA 3.0
Eine hierarchische Zusammenstellung der grundlegenden algebraischen Strukturen der Gruppentheorie. Die Pfeile deuten an, welche Eigenschaft eine Struktur zu einer stärkeren auszeichnet. Dabei sind die Strukturen mit gemeinsamen Eigenschaften farblich gruppiert. Man beachte, dass unter der Teilbarkeit (engl. divisibility) die eindeutige Lösbarkeit der linearen Gleichungen x*a=b und a*y=b für gegebene a und b gemeint ist. Oder anders ausgedrückt: Jedes a ist stets für jedes b ein beidseitiger Teiler.