Affine Hülle

Affine Hülle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der affinen Räume. Nahe verwandt ist der Begriff der linearen Hülle. Man nennt die affine Hülle von ${\displaystyle M}$ auch Verbindungsraum, vor allem dann, wenn die Teilmenge ${\displaystyle M}$ selbst eine Vereinigung von zwei oder mehr affinen Teilräumen ${\displaystyle M=U\cup V}$ ist.

Definition und Eigenschaften

Definition

Sei ${\displaystyle A}$ der zu einem ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum gehörende affine Raum und ${\displaystyle M\subseteq A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle A}$. Dann ist die affine Hülle von ${\displaystyle M}$ der kleinste affine Teilraum von ${\displaystyle A}$, der die Menge ${\displaystyle M}$ ganz enthält.

Konstruktion

Mit den Bezeichnungen aus der Definition wird aus ${\displaystyle M}$ ein beliebiger Punkt ${\displaystyle P_{0}}$ gewählt. Er dient als Aufpunkt der affinen Hülle. Dann wird zur Menge der Verbindungsvektoren ${\displaystyle V(M)=\lbrace {\overrightarrow {PQ}}\mid P,Q\in M\rbrace }$ die lineare Hülle ${\displaystyle H}$ gebildet. ${\displaystyle H}$ ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus ${\displaystyle V(M)}$, also die lineare Hülle von ${\displaystyle V(M)}$ in dem Vektorraum, der zum affinen Raum ${\displaystyle A}$ gehört. Dieser Teil der Konstruktion ist ausführlicher im Artikel Lineare Hülle beschrieben. Nun ist ${\displaystyle P_{0}+H}$ die affine Hülle von ${\displaystyle M}$.

Die affine Hülle der leeren Menge ist die leere Menge.

Eigenschaften

Die affine Hülle einer beliebigen Teilmenge ${\displaystyle M}$ eines affinen Raumes ${\displaystyle A}$

• ist eindeutig bestimmt (als konkrete Menge, nicht nur bis auf Isomorphie),
• ist ein affiner Raum mit einer Dimension zwischen −1 (leere Menge) und der Dimension des Gesamtraums,
• enthält die konvexe Hülle der Menge ${\displaystyle M}$ und ist auch deren affine Hülle, sofern ${\displaystyle A}$ ein reeller affiner Raum ist.

Die Abbildung, die jeder Teilmenge eines affinen Raumes ihre lineare Hülle zuordnet, ist ein Hüllenoperator.

In der Menge ${\displaystyle T}$ der affinen Teilräume eines affinen Raumes (einschließlich der leeren Menge und des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die affine Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen, hier wird, wenn ${\displaystyle U,V\in T}$ sind, ${\displaystyle U\vee V}$ für diese affine Hülle geschrieben, sie wird dann auch als Verbindungsraum der Teilräume bezeichnet. Die dazu duale Verknüpfung ist dann die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet ${\displaystyle T}$ dann einen Verband.

• Für die Dimensionen des Verbindungsraumes und des Schnittes von zwei affinen Teilräumen gibt es eine Dimensionsformel, siehe dazu Affiner Unterraum.

Beispiele

• Die affine Hülle von zwei beliebigen verschiedenen Punkten im Raum ist deren Verbindungsgerade.
• Die affine Hülle von drei Punkten des Raumes ist eine Gerade, falls die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, sonst die Ebene, auf der alle drei Punkte liegen.
• Die affine Hülle einer ebenen Figur im Raum (Dreieck, Kreis usw.) ist die Ebene, die die Figur enthält.
• Die affine Hülle der Polynommenge ${\displaystyle \lbrace 1,x^{2},x^{3}\rbrace \subseteq \mathbb {R} [x]}$ ist die Kurvenschar ${\displaystyle \lbrace 1+a(x^{2}-1)+b(x^{3}-1):a,b\in \mathbb {R} \rbrace }$. Dieses Beispiel macht deutlich, dass die affine Hülle in der Regel kein Vektorraum ist.

Siehe auch

• Konvexe Hülle
• Lineare Hülle

Literatur

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lineare Algebra (= Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band II). 2., korrigierte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim 1990, ISBN 3-8274-0359-6 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 25. Dezember 2011]). 

Weblinks

• Rolf Waldi: Beschreibung von Verbindungsräumen (PDF; 60 kB) im Skript Ergänzungen zur Geometrie.