Adjungierte Darstellung

In der Mathematik spielen die adjungierten Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren eine wichtige Rolle in Differentialgeometrie, Darstellungstheorie und Mathematischer Physik.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ identifiziert werden:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq T_{e}G}$.

Adjungierte Darstellungen

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Konjugation

Definiere die Konjugation mit einem Element ${\displaystyle g\in G}$ durch

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{g}\colon G&\to G\\h&\mapsto ghg^{-1}\quad \forall \ h\in G.\end{aligned}}}$

und definiere außerdem

${\displaystyle {\begin{aligned}C\colon G&\to \operatorname {Aut} (G)\\g&\mapsto c_{g}\end{aligned}}}$

Ad-Funktion

Definition Ad(g)

Für jedes ${\displaystyle g\in G}$ definieren wir die Ableitung von ${\displaystyle c_{g}}$ im Punkt ${\displaystyle e}$, dem neutralen Element der Gruppe, durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ad} (g):T_{e}G&\to T_{c_{g}(e)}G\\x&\mapsto \operatorname {Ad} (g)(x):=D_{e}c_{g}(x),\quad x\in T_{e}G.\end{aligned}}}$

${\displaystyle D_{e}}$ bezeichnet den Differentialoperator an der Stelle ${\displaystyle e}$.

Das ist eine lineare Abbildung vom Tangentialraum an der Stelle des neutralen Elementes in sich selber

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G\rightarrow T_{c_{g}(e)}G=T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

da ${\displaystyle c_{g}(e)=e}$ und somit ist ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$ ein Element aus ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$.

Definition Ad

Die adjungierten Abbildungen definieren eine Darstellung der Gruppe

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ad} \colon G&\rightarrow \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})\\g&\mapsto \operatorname {Ad} (g),\quad \forall \ g\in G\end{aligned}}}$

welche ein Lie-Gruppen-Homomorphismus ist und adjungierte Darstellung genannt wird.

ad-Funktion

Ebenfalls als adjungierte Darstellung bezeichnet wird die Ableitung von ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}&\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})\\x&\mapsto \operatorname {ad} (x):=D_{e}\operatorname {Ad} (x)\end{aligned}}}$

welche ein Lie-Algebren-Homomorphismus ist. Dies entspricht dem Anwenden der Lie-Klammer

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=\left[X,Y\right]}$

für alle ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$.

Häufig nützt man auch folgende Notation

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon x\mapsto \operatorname {ad} _{x}}$

und

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=\left[X,Y\right],\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}}.}$

Weil es nach den Lie’schen Sätzen zu jeder endlich-dimensionalen reellen Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine bis auf Isomorphismus eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit ${\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}}$ gibt, lässt sich die adjungierte Darstellung ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ für jede solche Lie-Algebra definieren.

Explizite Beschreibung

Für Matrizengruppen, d. h. abgeschlossene Untergruppen von ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$, lässt sich auch die adjungierte Darstellung der Lie-Gruppe explizit beschreiben: nach der kanonischen Identifizierung von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ mit einer Teilmenge von ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\simeq \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )}$ gilt

${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)(X)=gXg^{-1}}$

für alle ${\displaystyle g\in G,X\in {\mathfrak {g}}}$.

Literatur

• Arvanitoyeorgos, Andreas: An introduction to Lie groups and the geometry of homogeneous spaces. Translated from the 1999 Greek original and revised by the author. Student Mathematical Library, 22. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-2778-2
• Hall, Brian C.: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Graduate Texts in Mathematics, 222. Springer-Verlag, New York, 2003. ISBN 0-387-40122-9
• Knapp, Anthony W.: Lie groups beyond an introduction. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002. ISBN 0-8176-4259-5