Additive Funktion

Additive, subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte. Es sind bestimmte Klassen von Funktionen. Lineare Abbildungen sind besondere additive Funktionen.

In der Zahlentheorie herrscht eine andere Definition für die additive Funktion.

Definition

Eine Funktion ${\displaystyle f}$ heißt additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

erfüllt.^[1] Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Linearität.

Definition in der Zahlentheorie

In der Zahlentheorie bezeichnet man eine Funktion als additive Funktion, wenn folgende Eigenschaft

${\displaystyle f(mn)=f(n)+f(m)}$

für alle teilerfremden positiven ganzen Zahlen ${\displaystyle n,m}$ gilt.

Sub- und Superadditive Funktionen

Ist ${\displaystyle M}$ eine Halbgruppe mit der Verknüpfung ${\displaystyle +}$, so heißt eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ subadditiv, wenn für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle M}$ gilt:^[2]

${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$.

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle M}$ gilt:^[2]

${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$.

Beispiele

• Gemäß der Dreiecksungleichung sind Normen und Beträge stets subadditiv.
• Sublineare Funktionen sind subadditiv.
• Lineare Abbildungen sind additiv.

Eigenschaften

• Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.
• Ist ${\displaystyle f}$ eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ von Elementen aus ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle f(x_{1}+\dotsb +x_{n})=f(x_{1})+\dotsb +f(x_{n})}$

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der Zahlentheorie

Bei zahlentheoretischen Funktionen ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ betrachtet man als Verknüpfung auf ${\displaystyle \mathbb {N} }$ die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$

für alle teilerfremden ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y\in \mathbb {N} }$ gilt. Gilt dies sogar für alle ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$, so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

Siehe auch

• σ-Subadditivität
• σ-Additivität

Einzelnachweise

1. ↑ Prasanna Sahoo, Thomas Riedel: Mean Value Theorems and Functional Equations. 1998, ISBN 978-981-02-3544-4, S. 1. 
2. ↑ ^{a b} Josip E. Peajcariaac, Y. L. Tong: Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press, 1992, ISBN 978-0-12-549250-8, S. 8.