Achterknoten (Mathematik)

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Achterknoten
Achterknoten

Der Achterknoten (oder Achtknoten) spielt in der Mathematik, speziell in der Knotentheorie, eine Rolle. Er ist das mathematische Gegenstück des Achtknotens, der unter anderem beim Segeln gebraucht wird.

Parameterdarstellung

Eine einfache Parameterdarstellung des Achterknotens ist:[1]

Der Achterknoten ist der Abschluss des Zopfes .

Invarianten

Das Alexander-Polynom des Achterknotens ist

sein Jones-Polynom

Das Kauffman-Polynom ist , das HOMFLY-Polynom , das Klammerpolynom , das Conway-Polynom und das BLM-Polynom .

Die Kreuzungszahl des Achterknotens ist 4, sein Geschlecht ist 1 und seine Seifert-Matrix .

Die Knotengruppe des Achterknotens hat die Präsentierung

.

Ihre Charaktervarietät ist die elliptische Kurve[2]

das A-Polynom ist

Eigenschaften

Der Achterknoten ist achiral (auch amphichiral genannt), das heißt, er ist in sein Spiegelbild deformierbar. Er ist kein Torusknoten.[3]

Der Achterknoten ist ein hyperbolischer Knoten, sein hyperbolisches Volumen beträgt

Hierbei ist der Bloch-Wigner-Dilogarithmus und .

Die hyperbolische Struktur ist gegeben durch die treue und diskrete Darstellung

.

Die hyperbolische Struktur auf dem Komplement des Achterknotens wurde 1975 von Riley entdeckt.[4] Dieses Beispiel motivierte Thurston zur Suche nach hyperbolischen Strukturen auf weiteren Knotenkomplementen, was letztlich in die Geometrisierungsvermutung mündete.

Der Achterknoten ist der einzige arithmetische hyperbolische Knoten.[5]

Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass der Achterknoten der hyperbolische Knoten kleinsten Volumens ist.[6]

Einfache quadratische Darstellung der Figur-acht-Konfiguration.
Symmetrische Darstellung, die durch parametrische Gleichungen erzeugt wird.
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Seifert-Fläche für einen Achterknoten.

Siehe auch

Weblinks

Commons: Figure-eight knots (knot theory) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Eric W. Weisstein: Figure Eight Knot. In: MathWorld (englisch).
  2. Mehmet Haluk Șengün: An introduction to A-polynomials and their Mahler measures.
  3. Johannes Diemke: Torus-Knoten (PDF; 2,0 MB) informatik.uni-oldenburg.de. Archiviert vom Original am 8. Januar 2013.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.informatik.uni-oldenburg.de Abgerufen am 19. Mai 2012.
  4. Robert Riley: A quadratic parabolic group. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (1975), 281–288.
  5. Alan Reid: Arithmeticity of Knot Complements. J. London Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 1, 171–184.
  6. Chun Cao, Robert Meyerhoff: The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume. Invent. Math. 146 (2001), no. 3, 451–478.

Auf dieser Seite verwendete Medien

Figure8knot-rose-limacon-curve.svg

The figure-eight knot of mathematical knot theory depicted in symmetric form. The curves were generated from the polar coordinates equation r=b+sin(aθ), which is a slight generalization of the Limaçon and Rose/rhodonea curves, using parameters a=(2/3) and b=2.

The same curve (with a different rotation about the origin) is generated by the following non-polar parametric equations:

For an equivalent simple square depiction, see File:Figure8knot-math-square-alternate.svg .
Figure8knot-math-square.svg

Figure-eight knot of mathematical knot theory in a simple square depiction.

For a different (curvy) visual depiction, see File:Figure8knot-mathematical-knot-theory.svg.

For an alternative (topologically-equivalent) representation of the knot, see File:Figure8knot-math-square-alternate.svg.
Blue Figure-Eight Knot.png
A figure-eight knot.
Figure-eight knot.webm
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Assembling of figure-eight knot.
Superfície - bordo nó figura-oito.jpg
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Mathematical surface which the boundaries are a warped cylinder.