Abgeschlossene Abbildung

Abgeschlossene Abbildungen werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Es handelt sich um Abbildungen zwischen zwei topologischen Räumen, die abgeschlossene Mengen wieder auf abgeschlossene Mengen abbilden.

Definition

Sei ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ eine Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$. ${\displaystyle f}$ heißt abgeschlossen, wenn für jede abgeschlossene Menge ${\displaystyle A\subset X}$ auch die Bildmenge ${\displaystyle f(A)\subset Y}$ abgeschlossen ist.^[1][2][3]

Beispiele

• Jede stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ von einem beschränkten, abgeschlossenen Intervall in die reellen Zahlen ist abgeschlossen. Auf unbeschränkten Intervallen gilt das nicht, so ist zum Beispiel die stetige Arkustangens-Funktion ${\displaystyle \mathrm {arctan} \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ nicht abgeschlossen, denn ${\displaystyle A=[0,\infty )\subset \mathbb {R} }$ ist abgeschlossen, aber die Bildmenge ${\displaystyle \textstyle \mathrm {arctan} (A)=[0,{\frac {\pi }{2}})\subset \mathbb {R} }$ ist nicht abgeschlossen.
• Allgemeiner ist jede stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ von einem kompakten Raum ${\displaystyle X}$ in einen Hausdorffraum ${\displaystyle Y}$ abgeschlossen. Ist nämlich ${\displaystyle A\subset X}$ abgeschlossen, so ist ${\displaystyle A}$ als abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums kompakt und daher ist auch das Bild ${\displaystyle f(A)}$ kompakt. Als kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist ${\displaystyle f(A)}$ abgeschlossen.
• Homöomorphismen sind abgeschlossen. Genauer gilt, dass eine bijektive Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ zwischen topologischen Räumen genau dann ein Homöomorphismus ist, wenn ${\displaystyle f}$ stetig und abgeschlossen ist.^[4][5]
• Eigentliche Abbildungen sind abgeschlossen. Genauer ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ genau dann eigentlich, wenn sie abgeschlossen ist und ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})\subset X}$ kompakt ist für jedes ${\displaystyle y\in f(X)}$.^[6]
• Offene Abbildungen müssen nicht abgeschlossen sein. Die Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\,(s,t)\mapsto s}$ ist offen, die Bildmenge der abgeschlossenen Menge ${\displaystyle \{(s,t)\colon s\geq 0,st\geq 1\}}$ ist die nicht-abgeschlossene Menge ${\displaystyle (0,\infty )}$.^[7] Umgekehrt müssen abgeschlossene Abbildungen nicht offen sein, wie das Beispiel einer konstanten Abbildung zeigt.

Eigenschaften

• Kompositionen abgeschlossener Abbildungen sind wieder abgeschlossen.
• Sei ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ eine abgeschlossene Abbildung, ${\displaystyle B\subset Y}$ und es sei ${\displaystyle f^{-1}(B)\subset X}$ offen. Dann ist ${\displaystyle B}$ offen.^[8]
• Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ zwischen topologischen Räumen ist genau dann abgeschlossen, falls ${\displaystyle f({\overline {A}})\supset {\overline {f(A)}}}$ für alle Teilmengen ${\displaystyle A\subset X}$.^[9]

Abgrenzung

In der Funktionalanalysis betrachtet man sogenannte abgeschlossene Operatoren ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ zwischen topologischen Vektorräumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, das sind solche linearen Operatoren, deren Graph eine abgeschlossene Menge im Produktraum ${\displaystyle X\times Y}$ ist. Das darf nicht mit dem oben betrachteten Begriff der abgeschlossenen Abbildung zwischen topologischen Räumen verwechselt werden. So ist zum Beispiel die Inklusionsabbildung ${\displaystyle \iota \colon \ell ^{1}\rightarrow \ell ^{\infty }}$ der Folgenräume mit ihren üblichen Normtopologien als stetiger, linearer Operator sicher abgeschlossen, aber es handelt sich nicht um eine abgeschlossene Abbildung zwischen den zugehörigen topologischen Räumen, denn ${\displaystyle A=\ell ^{1}\subset \ell ^{1}}$ ist abgeschlossen, aber das Bild ${\displaystyle \iota (A)\subset \ell ^{\infty }}$ ist nicht abgeschlossen.

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfgang Franz: Topologie I. Walter de Gruyter, 1973, ISBN 3-11-004117-0, S. 37.
2. ↑ Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9, Definition 2.26.
3. ↑ H. J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 1961, ISBN 978-3-0348-6907-2, Definition 17b.
4. ↑ Wolfgang Franz: Topologie I. Walter de Gruyter, 1973, ISBN 3-11-004117-0, Satz 5.7.
5. ↑ Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9, Satz 2.28.
6. ↑ Erich Ossa: Topologie. Verlag Vieweg+Teubner, ISBN 3-8348-0874-1, Satz 2.4.20.
7. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, hinter Definition IV.3.1.
8. ↑ H. J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 1961, ISBN 978-3-0348-6907-2, Satz 17.9.
9. ↑ H. J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 1961, ISBN 978-3-0348-6907-2, Satz 17.8.