Abelsche Lie-Gruppe

Abelsche Lie-Gruppen sind ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Definition

Eine Lie-Gruppe heißt abelsch, wenn ihre Gruppenmultiplikation kommutativ ist.

Für zusammenhängende Lie-Gruppen ist dies äquivalent dazu, dass die Lie-Algebra der Lie-Gruppe eine abelsche Lie-Algebra, also die Lie-Klammer identisch null ist.

Eigenschaften

Für eine abelsche Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ und ihre Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist die Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$ ein Homomorphismus, es gilt also

${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)}$

für alle ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Multiplikationsabbildung ${\displaystyle m\colon G\times G\to G}$ das Differential ${\displaystyle (X,Y)\to X+Y}$ hat und für abelsche Gruppen (und nur diese) ${\displaystyle m}$ ein Homomorphismus ist, sowie aus ${\displaystyle \exp(Dm(X,Y))=m(\exp(X),\exp(Y))}$.

Weiterhin ist für abelsche Gruppen die Exponentialabbildung surjektiv und hat einen diskreten Kern.

Beispiele

Die Kreisgruppe ${\displaystyle S^{1}}$ ist eine abelsche Lie-Gruppe. Sie ist isomorph zur speziellen orthogonalen Gruppe ${\displaystyle SO(2)}$ und zur unitären Gruppe ${\displaystyle U(1)}$.

Ebenso ist der Torus ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=S^{1}\times S^{1}}$ eine abelsche Lie-Gruppe.

Klassifikation

Jede kompakte, zusammenhängende, abelsche Lie-Gruppe ist ein ${\displaystyle n}$-Torus ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{n\ {\text{mal}}}}$ für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Jede zusammenhängende, abelsche Lie-Gruppe ist isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {T} ^{n}}$ für natürliche Zahlen ${\displaystyle k,n}$.

Jede abelsche Lie-Gruppe ist isomorph zu ${\displaystyle F\times \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {T} ^{n}}$ für eine endliche abelsche Gruppe ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle k,n\in \mathbb {N} }$.