A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist ein Begriff aus der bayesschen Statistik. Sie beschreibt den Wissensstand über einen unbekannten Umweltzustand ${\displaystyle \theta }$ a posteriori, d. h. nach der Beobachtung einer Zufallsgröße ${\displaystyle X}$, die von ${\displaystyle \theta }$ in statistischer Abhängigkeit steht.

Folgende Situation ist gegeben: ${\displaystyle \theta }$ ist ein unbekannter Umweltzustand (z. B. ein Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung), der auf der Basis von Beobachtungen ${\displaystyle x}$ einer Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ geschätzt werden soll.

Gegeben sei eine Verteilung für den Parameter ${\displaystyle \theta }$ vor der Beobachtung der Stichprobe. Diese Verteilung wird auch A-priori-Verteilung genannt.

Weiterhin sei die Dichte (bzw. im diskreten Fall: die Wahrscheinlichkeitsfunktion) der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung ${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$ gegeben. Diese Dichte (bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion) wird im Folgenden mit ${\displaystyle f(x|\theta _{0})}$ bezeichnet.

Die A-posteriori-Verteilung ist die Verteilung des Populationsparameters ${\displaystyle \theta }$ unter der Bedingung, dass für die Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ der Wert ${\displaystyle x}$ beobachtet wurde. Die A-posteriori-Verteilung wird mit Hilfe des Satzes von Bayes aus der A-priori-Verteilung und der bedingten Verteilung der Stichprobe unter der Bedingung ${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$ berechnet.

Eine stetige A-priori-Verteilung liegt dann vor, wenn die A-priori-Verteilung auf der Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder auf einem Intervall in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definiert ist. Beispiele für stetige A-priori-Verteilungen sind:

• die Normalverteilung (hier ist der Parameterraum ${\displaystyle \Theta }$ die Menge der reellen Zahlen) oder
• die Gleichverteilung auf dem Intervall ${\displaystyle [0;1]}$ (hier ist der Parameterraum ${\displaystyle \Theta }$ das Intervall ${\displaystyle [0;1]}$).

Im Folgenden steht ${\displaystyle g(\theta )}$ für die auf dem Parameterraum ${\displaystyle \Theta }$ definierte A-priori-Dichte von ${\displaystyle \theta .}$

In diesem Fall kann die A-posteriori-Dichte ${\displaystyle h(\theta |x)}$ folgendermaßen berechnet werden:^[1]

${\displaystyle h(\theta _{0}\mid x)={\frac {f(x\mid \theta _{0})\,g(\theta _{0})}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x\mid \theta ')\,g(\theta ')\,\mathrm {d} \theta '}}\!}$

Im folgenden Abschnitt steht ${\displaystyle P(\theta =\theta _{0})}$ für die diskrete A-priori-Wahrscheinlichkeit, dass der Parameter ${\displaystyle \theta }$ den Wert ${\displaystyle \theta _{0}}$ annimmt. Eine diskrete A-priori-Verteilung ist auf einer endlichen Menge oder auf einer Menge mit abzählbar unendlichem Träger definiert.

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird im Folgenden mit ${\displaystyle P(\theta =\theta _{0}|x)}$ bezeichnet und kann auf folgende Weise berechnet werden:^[1]

${\displaystyle P(\theta =\theta _{0}|x)={\frac {f(x|\theta _{0})\,P(\theta =\theta _{0})}{\displaystyle \sum _{\theta '\in \Theta }f(x|\theta ')\,P(\theta =\theta ')}}\!}$

In der bayesschen Statistik stellt die A-posteriori-Verteilung den neuen, durch Vorwissen und Beobachtung bestimmten Kenntnisstand über die Verteilung des Parameters ${\displaystyle \theta }$ nach der Beobachtung der Stichprobe dar.

Damit ist die A-posteriori-Verteilung die Grundlage zur Berechnung aller Punktschätzer (siehe Bayes-Schätzer) und Glaubwürdigkeitsintervalle.^[1]

In einer Urne befinden sich rote und schwarze Kugeln. Es ist bekannt, dass der Anteil roter Kugeln entweder bei 40 % oder aber bei 60 % liegt. Um Genaueres herauszufinden, werden (mit Zurücklegen) 11 Kugeln aus der Urne gezogen. Es werden 4 rote und 7 schwarze Kugeln gezogen.

Die Zufallsgröße „Anzahl gezogener roter Kugeln“ wird im Folgenden mit ${\displaystyle X}$ bezeichnet, der tatsächlich beobachtete Wert der Zufallsgröße mit ${\displaystyle x}$.

Die Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ ist binomialverteilt mit unbekanntem Parameter ${\displaystyle \theta ,}$ wobei ${\displaystyle \theta }$ nur einen der Werte ${\displaystyle 0{,}4}$ oder ${\displaystyle 0{,}6}$ annehmen kann. Da kein weiteres Vorwissen bekannt ist, wird als A-priori-Verteilung für ${\displaystyle \theta }$ eine diskrete Gleichverteilung angenommen, d. h.

${\displaystyle P(\theta =0{,}4)=P(\theta =0{,}6)=0{,}5.}$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für ${\displaystyle X=x}$ ergibt sich aus der Binomialverteilung zu

${\displaystyle f(X=4\mid \theta =\theta _{0})={11 \choose 4}\;{\theta _{0}}^{4}\;(1-\theta _{0})^{7}.}$

Man erhält daher für ${\displaystyle \theta _{0}=0{,}4}$

${\displaystyle f(X=4\mid \theta =0{,}4)={11 \choose 4}\;0{,}4^{4}\;0{,}6^{7}=0{,}236.}$

Für ${\displaystyle \theta _{0}=0{,}6}$ erhält man

${\displaystyle f(X=4\mid \theta =0{,}6)={11 \choose 4}\;0{,}6^{4}\;0{,}4^{7}=0{,}07.}$

Die A-posteriori-Verteilung kann nun mit Hilfe des Satzes von Bayes berechnet werden. Für ${\displaystyle \theta =0{,}4}$ erhält man als A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(\theta =0{,}4\mid x=4)={\frac {0{,}236\cdot 0{,}5}{0{,}236\cdot 0{,}5+0{,}07\cdot 0{,}5}}=0{,}77.}$

Für ${\displaystyle \theta =0{,}6}$ ergibt sich die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(\theta =0{,}6\mid x=4)={\frac {0{,}07\cdot 0{,}5}{0{,}236\cdot 0{,}5+0{,}07\cdot 0{,}5}}=0{,}23.}$

Somit ist nach Ziehung der Stichprobe die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil roter Kugeln in der Urne 40 % beträgt, gleich ${\displaystyle 0{,}77}$.

• Bayesianische Erkenntnistheorie

1. ↑ ^{a b c} Bernhard Rüger (1988), S. 152 ff.

• Bernhard Rüger: Induktive Statistik. Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. R. Oldenbourg Verlag, München Wien 1988. ISBN 3-486-20535-8
• Hans-Otto Georgii: Stochastik – Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. de Gruyter Verlag, Berlin New York 2007. ISBN 978-3-11-019349-7