A/V-Verhältnis

A/V-Verhältnis von Kugel, Würfel und Quader (Seitenverhältnis 1:2:3) bei gleichem Volumen

Das Oberfläche-zu-Volumen-Verhältnis (A/V-Verhältnis) ist der Quotient aus der Oberfläche und dem Volumen eines geometrischen Körpers. Es hat die Dimension 1/Länge.

Bei gegebenem Volumen weist von allen Körpern die Kugel die kleinste Oberfläche auf. Bei wachsendem Volumen nimmt das A/V-Verhältnis bei allen Körpern ab, da die Oberfläche quadratisch, das Volumen jedoch kubisch (in der dritten Potenz) wächst. Das ist von Bedeutung für die Abkühlungsgeschwindigkeit verschieden großer Massen: Die Abkühlung erfolgt proportional zur Größe der Oberfläche, die beim Größerwerden jedoch langsamer wächst als das Volumen, so dass größere Massen langsamer abkühlen als kleine. Das ist auch eine Erklärung dafür, dass Kaiserpinguine in der Antarktis größer sind und somit mehr Wärme behalten als Galápagos-Pinguine nahe dem Äquator, die Wärme eher abgeben wollen (Bergmannsche Regel und Allometrie).[1]

Betrachtung

A-V-Diagramm verschiedener geometrischer Körper
Verdoppelt sich die Kantenlänge eines Würfels, vervierfacht sich dessen Oberfläche und verachtfacht sich dessen Volumen

Allgemein gilt für Körper: Wenn man die drei Kantenlängen , und eines Quaders jeweils verdoppelt, vervierfacht sich seine Fläche (allgemeinsprachlich: Oberfläche; oder auch bei Berücksichtigung von Austauschprozessen, seine Grenzfläche); sein Volumen aber verachtfacht sich. Große Körper haben deshalb eine (z. B. für die Wärmespeicherung) günstigere Relation von Volumen zu Oberfläche:

    (beim Würfel: )
    (Würfel: )

Das gilt auch für den Zylinder: Wenn man seinen Durchmesser und seine Höhe verdoppelt, verachtfacht sich sein Volumen. Auch wenn man den Durchmesser einer Kugel verdoppelt, verachtfacht sich ihr Volumen.

Physiologische Implikationen

Der Stoffaustausch einer Zelle erfolgt über deren Oberfläche. Aufnahme und Abgabe von für den Stoffwechsel wichtigen Molekülen vollzieht sich über die Zellmembran (Phasengrenzflächen). Dabei spielt auch das Verhältnis von Zelloberfläche zu Zellvolumen eine wichtige Rolle. Je kleiner eine Zelle (oder auch ein Körper) ist, desto weniger Volumen hat sie im Verhältnis zu ihrer Oberfläche. Eine stoffwechselaktive Zelle ist deshalb meist klein, da bei einem kleinen Zellkörper das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen günstiger ist als bei großvolumigen Zellen. Soll nun aber eine Zelle aufgrund des evolutionären Drucks sowohl großvolumig als auch stoffwechselaktiv sein, ist dies nur durch eine zusätzliche Vergrößerung der Oberfläche durch Falten oder Ausstülpungen möglich, als Beispiel sei hier der Osteoklast angeführt.[2]

Bei verschiedengroßen Organismen führt das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen zu ökogeographischen Beobachtungen wie beispielsweise der Bergmannschen Regel.

Bauphysik

In der Bauphysik und beim Wärmeschutznachweis ist das A/V-Verhältnis eine wichtige Kenngröße für die Kompaktheit eines Gebäudes. Es berechnet sich als der Quotient aus der wärmeübertragenden Hüllfläche, d. h. Flächen, die Wärme an die Umwelt abgeben, wie Wände, Fenster, Dach, und dem beheizten Gebäudevolumen. Das A/V-Verhältnis beeinflusst entscheidend den Heizenergiebedarf. Ein geringeres A/V-Verhältnis bedeutet bei gleichem Gebäudevolumen eine kleinere Wärme übertragende Außenfläche. Pro Volumen ist somit weniger Energie notwendig, um die Wärmeverluste über die Hülle auszugleichen.

Große Gebäude weisen naturgemäß kleinere A/V-Verhältnisse auf als z. B. Einfamilienhäuser. Typische Werte für Einfamilienhäuser liegen zwischen 0,8 und 1,0 . Bei großen, kompakten Gebäuden sind Werte bis unter 0,2 möglich.

Beispiele

KörperFormLänge OberflächeVolumenA/V-VerhältnisA/V-Verhältnis pro Raumeinheit
TetraederSeite7,21
WürfelSeite6
OktaederSeite5,72
DodekaederSeite5,31
IkosaederSeite5,148
KugelRadius4,836

Verhältnis von Umfang zu Flächeninhalt

Analog zum A/V-Verhältnis eines Körpers nimmt bei einer Fläche das Verhältnis von Umfang zu Flächeninhalt mit steigender Größe ab, da der Umfang linear, der Flächeninhalt jedoch quadratisch wächst. So hat z. B. ein Rohr bei Verdopplung des Durchmessers (und damit des Umfangs) die vierfache Querschnittsfläche. Dies ist dann auch das A/V-Verhältnis des Zylinders oder Stabes, da sich die Länge herauskürzt.

Einzelnachweise

  1. Hans Joachim Schlichting; Bernd Rodewald: Von großen und kleinen Tieren. In: Praxis der Naturwissenschaften – Physik. 37/5, 2 (1988).
  2. Werner Buselmaier: Biologie für Mediziner. 12. Auflage. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-27174-8, S. 4 f.

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Octahedron.png

Picture of an octahedron
AzuV.jpg
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A/V Verhältnisse von Kugel, Würfel und Quader (Seitenverhältnis 1:2:3) bei gleichem Volumen
Icosahedron.png

Image d'un icosaèdre, un des solides de Platon
Dodecahedron.png

Image d'un dodécaèdre
Comparison of surface area vs volume of shapes.svg
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Graphs of surface area A, against volume V, of all five Platonic solids and a sphere. It shows that the surface area decreases for rounder shapes (sphere being the lowest), and the surface-area-to-volume ratio decreases with increasing volume. The dashed blue lines show that when the volume of a randomly selected solid increases 8 (2³) times, its surface area increases 4 (2²) times. The dotted black line shows surface-area-to-volume ratio of 1.
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cube is divided into eight sub-cubes
Hexahedron.png

Image d'un cube
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Image d'un tétraèdre
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Red sphere shaded with a light source at the top right. Designed to fit with images in Category:Set of Platonic solids; silgol red