72er-Regel

Exakte Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage (gestrichelte Linien) und Näherungen mit der 72er-Regel (kurze Striche mit Zahlen) für verschiedene Zinssätze

Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung. Die Regel gibt näherungsweise die Verdopplungszeit an, also die Zeit nach der sich eine verzinsliche Kapitalanlage im Nennwert verdoppelt (durch den Effekt des Zinseszins). Dazu teilt man 72 durch den Zinsfuß des angelegten Betrages, daher der Name der Regel. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.

Formel

Die Zeit ${\displaystyle t}$ (in Jahren), in der sich eine Kapitalanlage mit Zinssatz ${\displaystyle i}$ (pro Jahr) verdoppelt, ist nach der 72er-Regel:

${\displaystyle t\approx {\frac {72}{100\cdot i}}={\frac {72}{p}}~{\text{Jahre}}}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle p}$ den Zinsfuß.

Man kann dieselbe Formel benutzen, um abzuschätzen, welcher Zinsfuß ${\displaystyle p}$ benötigt wird, um ein Kapital in vorgegebener Zeit ${\displaystyle t}$ zu verdoppeln:

${\displaystyle p\approx {\frac {72~{\text{Jahre}}}{t}}}$.

Beispiele

In welcher Zeit ${\displaystyle t}$ wird sich ein Betrag, der zu einem Zinsfuß von ${\displaystyle p=8}$ (8 Prozent pro Jahr) angelegt ist, verdoppeln?

${\displaystyle t={\frac {72}{p}}~{\text{Jahre}}={\frac {72}{8}}~{\text{Jahre}}=9~{\text{Jahre}}}$

Welchen Zinsfuß ${\displaystyle p}$ (pro Jahr) benötigt man, um ein Kapital im Zeitraum ${\displaystyle t=12~{\text{Jahre}}}$ zu verdoppeln?

${\displaystyle p={\frac {72~{\text{Jahre}}}{t}}={\frac {72~{\text{Jahre}}}{12~{\text{Jahre}}}}=6}$

Die 72er-Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art exponentiellen Wachstums angewendet werden. Beispielsweise beträgt die Generationszeit, also die Zeitspanne, in der sich eine Mikrobenpopulation verdoppelt, bei einer stündlichen Wachstumsrate von ${\displaystyle 4\,\%}$ ungefähr ${\displaystyle {\tfrac {72}{4}}=18}$ Stunden.

Herleitung

Nach der Zinseszinsformel ist das Endkapital ${\displaystyle K_{t}}$ einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital ${\displaystyle K_{0}}$ bei einem Zinssatz von ${\displaystyle i}$ nach einer Laufzeit von ${\displaystyle t}$ Jahren bei jährlicher Verzinsung

${\displaystyle K_{t}=K_{0}\left(1+i\right)^{t}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}}$.

Setzt man nun ${\displaystyle K_{t}=2K_{0}}$, wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach ${\displaystyle t}$ auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als

${\displaystyle t={\frac {\ln(2)}{\ln \left(1+{\frac {p}{100}}\right)}}}$.

Nachdem ${\displaystyle \ln(1+x)}$ für betragsmäßig kleine ${\displaystyle x}$ gegen ${\displaystyle x}$ konvergiert (siehe Taylor-Reihe) und mit ${\displaystyle \ln(2)\approx 0{,}6931}$ ergibt sich als Näherungsformel

${\displaystyle t\approx {\frac {0{,}6931}{\frac {p}{100}}}={\frac {69{,}31}{p}}}$.

Nähert man nun ${\displaystyle \ln(2)}$ durch ${\displaystyle 0{,}69}$ oder ${\displaystyle 0{,}70}$, so spricht man von der 69er-Regel^[1] oder der 70er-Regel.^[2] Als Faustwert hat sich aber die Näherung durch ${\displaystyle 0{,}72}$ bewährt, unter anderem weil die Zahl ${\displaystyle 72}$ viele kleine Teiler aufweist ${\displaystyle (72=2^{3}\cdot 3^{2})}$.^[3] Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form

${\displaystyle t\approx {\frac {69}{p}}+0{,}35}$,

die durch numerische Approximation gefunden wurde.^[4][5] Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich ${\displaystyle 0<p<35}$ mit maximal 0,5-prozentiger Abweichung genähert werden. Wird 0,32 als Wert des Absolutglieds verwendet, betragen die Abweichungen im Bereich ${\displaystyle 0<p<100}$ maximal ein Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten.

Genauigkeit

Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und weiteren oben aufgeführten Näherungen mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand.

Siehe auch

• Zeitwert des Geldes

Literatur

• John J. Spitzer, Sandeep Singh: The rule of 72?. Financial Counseling and Planning 10 [1] (1999).

Weblinks

• Rule of 72. Online-Rechner von moneychimp.com (englisch)
• Eric W. Weisstein: Rule of 72. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. ↑ Pamela Peterson Drake, Frank J. Fabozzi: Foundations and Applications of the Time Value of Money. John Wiley & Sons, 2009, S. 89. 
2. ↑ M. C. Lovell: Economics With Calculus. World Scientific, 2004, S. 361. 
3. ↑ R. L. Finney, G. B. Thomas: Calculus. Addison-Wesley, 1990, S. 360. 
4. ↑ J. P. Gould, R. L. Weil: The Rule of 69. In: Journal of Business. Band 39, 1974, S. 397–398. 
5. ↑ Richard P. Brief: A note on “rediscovery” and the rule of 69. In: The Accounting Review. Band 52, Nr. 4, 1977, S. 810–812.