6j-Symbol

Das 6j-Symbol von Eugene Wigner ist eine Notation zur Kopplung von Drehimpulsen in der Quantenmechanik. Es spielt eine Rolle bei der Kopplung von drei quantenmechanischen Drehimpulsen.

Definition

Es ist folgendermaßen als Summe über Produkte von vier 3j-Symbolen definiert:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle =\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Dabei ist zu beachten, dass nicht alle ${\displaystyle m_{i}}$ nichtverschwindende Beiträge leisten (Auswahlregeln der 3j-Symbole, siehe dort).

Symmetrien

Das 6j-Symbol ist invariant unter Vertauschung seiner Spalten:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }$

Es ist auch invariant unter gleichzeitiger Vertauschung von übereinanderstehenden Symbolen in zwei Spalten:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

Insgesamt gibt es 24 Symmetrien.

Das 6j-Symbol

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

verschwindet außer ${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$ erfüllen die Dreiecksbedingung:

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}$

Wegen der oben erläuterten Symmetrien müssen auch ${\displaystyle j_{1},j_{5},j_{6}}$, ${\displaystyle j_{4},j_{2},j_{6}}$, ${\displaystyle j_{4},j_{5},j_{3}}$ die Dreiecksbedingung erfüllen. Außerdem muss die Summe aller Elemente dieser Dreiertupel eine ganze Zahl sein.

Spezialfall

Für ${\displaystyle j_{6}=0}$ gilt folgende Formel für das 6j-Symbol:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}}$

Das trianguläre Delta ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}}$ ist gleich 1 falls ${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$ die Dreiecksbedingung erfüllen und 0 sonst.

Orthogonalitätsrelation

Die 6j-Symbole erfüllen die Orthogonalitätsrelation:

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

Asymptotische Entwicklung

Falls alle ${\displaystyle j_{i}}$ im 6j-Symbol groß sind ist:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

Die Formel wurde von Tullio Regge und G. Ponzano^[1] vermutet und wurde von Justin Roberts bewiesen.^[2] und nutzt die sich asymptotisch ergebende Tetraeder-Geometrie aus. Dabei ist V das Volumen des Tetraeders, ${\displaystyle J_{i}=j_{i}+{\frac {1}{2}}}$ die Länge der Seite ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle \theta _{i}}$ der Winkel der Seiten, die an die i-te Kante stoßen.

Zusammenhang mit Racah-W-Koeffizienten

Sie sind mit den Racah-W-Koeffizienten verbunden, die ebenfalls zur Kopplung von drei Drehimpulsen verwendet werden:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

Die Racah-W-Koeffizienten sind Koeffizienten:

${\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}}.}$

beim Übergang von einer Basis, in der ${\displaystyle j_{1}}$ und ${\displaystyle j_{2}}$ zu ${\displaystyle J_{12}}$ gekoppelt sind und dieses dann mit ${\displaystyle j_{3}}$ zum Gesamtdrehimpuls ${\displaystyle J}$ und einer Basis, in der zuerst ${\displaystyle j_{2}}$ und ${\displaystyle j_{3}}$ zu ${\displaystyle J_{23}}$ gekoppelt sind und dieses dann mit ${\displaystyle j_{3}}$ zu ${\displaystyle J}$:

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})J\rangle \,|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle }$

${\displaystyle ={\sqrt {(2J_{12}+1)}}\sum _{J_{23}}{\sqrt {(2J_{23}+1)}}\,W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle }$

Literatur

• A. Messiah: Quantenmechanik, Band 2, De Gruyter 1985, Anhang C
• Alan Robert Edmonds: Drehimpulse in der Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbücher 1964 (englisches Original Princeton UP 1957)

Weblinks

• 6j-Symbol, Mathworld

Einzelnachweise

1. ↑ Ponzano, Regge: Semiclassical Limit of Racah Coefficients, in: Spectroscopy and Group Theoretical Methods in Physics, Amsterdam, 1968, S. 1–58
2. ↑ J. Roberts: Classical 6j-symbols and the tetrahedron, Geometry and Topology, Band 3, 1998, S. 21–66, Arxiv