2-Kategorie

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind 2-Kategorien die einfachsten Beispiele höherer Kategorien.

Definition

Eine 2-Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ besteht aus einer Klasse ${\displaystyle Ob({\mathcal {C}})}$ von Objekten, einer Klasse ${\displaystyle Mor({\mathcal {C}})}$ von Morphismen zwischen Objekten und einer Klasse ${\displaystyle Mor_{2}({\mathcal {C}})}$ von Morphismen zwischen Morphismen.

Das heißt sowohl

${\displaystyle (Ob({\mathcal {C}}),Mor({\mathcal {C}}))}$

als auch

${\displaystyle (Mor({\mathcal {C}}),Mor_{2}({\mathcal {C}}))}$

bilden jeweils eine Kategorie.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle {{\mathcal {G}}rp}}$ die Kategorie der Gruppen und Gruppenhomomorphismen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Konjugationsabbildungen als 2-Isomorphismen durch

${\displaystyle Mor_{2}(f_{0},f_{1})=\left\{h\in H\colon f_{1}(g)=hf_{0}(g)h^{-1}\ \forall \ g\in G\right\}}$

für alle ${\displaystyle f_{0},f_{1}\in Mor(G,H)}$.

• Sei ${\displaystyle {{\mathcal {T}}op}}$ die Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Homotopien als 2-Homomorphismen durch

${\displaystyle Mor_{2}(f_{0},f_{1})=\left\{H\colon X\times \left[0,1\right]\to Y\colon H(x,i)=f_{i}(x)\ \forall \ x\in X,i\in \left\{0,1\right\}\right\}}$

für alle ${\displaystyle f_{0},f_{1}\in Mor(X,Y)}$.

• Sei ${\displaystyle {{\mathcal {C}}at}}$ die Kategorie der Kategorien und Funktoren. Diese wird eine 2-Kategorie mit den natürlichen Transformationen als 2-Morphismen durch

${\displaystyle Mor_{2}({\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1})=\left\{\left\{\alpha _{C}\colon {\mathcal {F}}_{0}(C)\to {\mathcal {F}}_{1}(C)\right\}_{C\in {\mathcal {C}}}\colon \alpha _{C^{\prime }}\circ F(f)=G(f)\circ \alpha _{C}\ \forall C,C^{\prime }\in Ob({\mathcal {C}}),f\in Mor(C,C^{\prime })\right\}}$

für alle ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1}\in Mor({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})}$.

Literatur

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory (Section 1.1), online (pdf)

Weblinks

• 2-category (nlab)