(LF)-Raum

(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

Definition

Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$, für den es eine Folge ${\displaystyle (E_{n})_{n}}$ von Fréchet-Räumen gibt, so dass Folgendes gilt:

1. ${\displaystyle E_{n}\subset E_{n+1}}$ für alle ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$
2. Für jedes ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ trägt ${\displaystyle E_{n}}$ die durch ${\displaystyle E_{n+1}}$ gegebene Teilraumtopologie.
3. ${\displaystyle E}$ ist die Vereinigung aller ${\displaystyle E_{n}}$.
4. ${\displaystyle E}$ trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen ${\displaystyle E_{n}\subset E}$ stetig macht.

In dieser Situation nennt man ${\displaystyle (E_{n})_{n}}$ eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für ${\displaystyle E}$. Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Manche Autoren schwächen die zweite Bedingung auch ab und fordern nur, dass die Inklusion von ${\displaystyle E_{n}}$ nach ${\displaystyle E_{n+1}}$ stetig ist. Für solche allgemeineren (LF)-Räume sind nicht alle unten angegebenen Eigenschaften automatisch erfüllt, insbesondere gibt es dann (LF)-Räume, die nicht vollständig sind.

Beispiele

Jeder Fréchet-Raum ${\displaystyle E}$ ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge ${\displaystyle E_{n}=E}$ wählen.

Sei ${\displaystyle c_{00}}$ der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man ${\displaystyle {\mathbb {K} }^{n}}$ mit dem Raum aller Folgen, die ab der ${\displaystyle (n+1)}$-ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist ${\displaystyle ({\mathbb {K} }^{n})_{n}}$ eine darstellende Folge für den (LF)-Raum ${\displaystyle c_{00}}$, der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf ${\displaystyle c_{00}}$ ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d. h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist ${\displaystyle K\subset {\mathbb {R} }^{m}}$ kompakt, so sei ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in ${\displaystyle K}$. Ist ${\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {R} }^{m}}$ offen, so nennt den Raum ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega ):=\bigcup \{C^{\infty }(K);\,K\subset \Omega \,\,{\text{kompakt}}\}}$ den Raum der Testfunktionen auf ${\displaystyle \Omega }$. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen ${\displaystyle C^{\infty }(K)\subset {\mathcal {D}}(\Omega )}$ stetig macht. Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge ${\displaystyle (C^{\infty }(K_{n}))_{n}}$ nehmen, wobei ${\displaystyle (K_{n})_{n}}$ eine Folge von kompakten Teilmengen in ${\displaystyle \Omega }$ ist, so dass jedes ${\displaystyle K_{n}}$ im Inneren von ${\displaystyle K_{n+1}}$ liegt und ${\displaystyle \Omega }$ die Vereinigung dieser ${\displaystyle K_{n}}$ ist. Die Topologie auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

Eigenschaften

Beschränkte Mengen

Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge ${\displaystyle (E_{n})_{n}}$ gilt folgender Satz:

• Eine Menge ${\displaystyle B\subset E}$ ist genau dann beschränkt, wenn es ein ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ gibt, so dass ${\displaystyle B\subset E_{n}}$ und ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle E_{n}}$ beschränkt ist.

Stetigkeit

Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum ${\displaystyle E}$ mit darstellender Folge ${\displaystyle (E_{n})_{n}}$ in einen anderen lokalkonvexen Raum ${\displaystyle F}$ lässt sich wie folgt charakterisieren:

• Ein linearer Operator ${\displaystyle T:E\rightarrow F}$ ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen ${\displaystyle T|_{E_{n}}:E_{n}\rightarrow F}$ stetig sind.

Vollständigkeit

Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.

Beziehungen zu anderen Räumen

(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

Satz von Banach-Steinhaus: Ist ${\displaystyle (T_{\alpha })_{\alpha \in I}}$ eine Familie stetiger linearer Operatoren ${\displaystyle E\rightarrow F}$ zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei ${\displaystyle E}$ (LF)-Raum sei, und ist ${\displaystyle \{T_{\alpha }(x);\alpha \in I\}}$ für jedes ${\displaystyle x\in E}$ beschränkt, so ist ${\displaystyle (T_{\alpha })_{\alpha \in I}}$ gleichstetig, d. h. zu jeder Nullumgebung ${\displaystyle V\subset F}$ gibt es eine Nullumgebung ${\displaystyle U\subset E}$, so dass ${\displaystyle T_{\alpha }(U)\subset V}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in I}$.

Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung ${\displaystyle T:E\rightarrow F}$ zwischen (LF)-Räumen ist offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung ${\displaystyle T:E\rightarrow F}$ zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

Anwendung

In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge ${\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {R} }^{m}}$ als lineare Abbildung ${\displaystyle T:{\mathcal {D}}(\Omega )\rightarrow {\mathbb {R} }}$, so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist ${\displaystyle K\subset \Omega }$ kompakt und ist ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ eine Folge in ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$, so dass jedes ${\displaystyle f_{n}}$ Träger in ${\displaystyle K}$ hat und so dass ${\displaystyle f_{n}\to 0}$ gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist ${\displaystyle T(f_{n})\to 0}$.

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat, Folgenstetigkeit zu betrachten, denn ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von ${\displaystyle T}$ auf ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$, ${\displaystyle K\subset \Omega }$ kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$.

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ definieren.

Quellen

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• F. Treves: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9