σ-kompakter Raum

Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet. Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.^[1]

Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T₃ garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.^[2]

Beispielsweise ist ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n]}$, so dass sich ${\displaystyle \mathbb {R} }$ als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume ${\displaystyle [-n,n]}$ darstellen lässt.

Literatur

• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.

Einzelnachweise

1. ↑ Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-56860-2, S. 111 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. ↑ Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 336.