σ-Algebra der invarianten Ereignisse

Die σ-Algebra der invarianten Ereignisse ist eine spezielle σ-Algebra, die in der Ergodentheorie Verwendung findet. Dort dient sie beispielsweise zur Definition der Ergodizität oder zur Formulierung des individuellen Ergodensatzes und des L^p-Ergodensatzes.

Definition

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle T:\Omega \to \Omega }$ eine messbare Abbildung.

Ein ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ heißt ein invariantes Ereignis, wenn ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ ist.

Die Menge aller invarianten Ereignisse, also

${\displaystyle {\mathcal {I}}:=\{A\in {\mathcal {A}}\,|\,T^{-1}(A)=A\}}$,

heißt dann die σ-Algebra der invarianten Ereignisse.

Eigenschaften

• Dass ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ tatsächlich eine σ-Algebra ist, folgt direkt aus der Verträglichkeit der Urbildoperation mit den Mengenoperationen.
• Eine Funktion von ${\displaystyle \Omega }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist genau dann ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-messbar, wenn sie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-messbar ist und ${\displaystyle f\circ T=f}$ gilt.

Quasi-invariante Ereignisse

Eine Abschwächung des Begriffes eines invarianten Ereignisses ist ein quasi-invariantes Ereignis. Dabei wird die Gleichheit nur fast sicher gefordert. Demnach heißt ein ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ quasi-invariant, wenn

${\displaystyle \chi _{A}=\chi _{T^{-1}(A)}\quad P{\text{-fast sicher}}}$

gilt. Auch die quasi-invarianten Ereignisse bilden für maßerhaltende Abbildungen ${\displaystyle T}$ eine σ-Algebra, sie ist gegeben durch

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{P}:=\{A\in {\mathcal {A}}\,|\,\chi _{A}=\chi _{T^{-1}(A)}\ P{\text{-fast sicher}}\}}$.

Tatsächlich unterscheiden sich die quasi-invarianten Ereignisse und die invarianten Ereignisse kaum, denn es lässt sich zeigen, dass für jedes ${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{P}}$ ein ${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}}$ gibt, so dass ${\displaystyle P(A\,\triangle \,B)=0}$ ist. Es lässt sich also zu jeder quasi-invarianten Menge immer eine invariante Menge finden, so dass diese sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt: Dynamische Systeme. Ergodentheorie und topologische Dynamik. Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-0348-0633-6, doi:10.1007/978-3-0348-0634-3.