δ-Ring (Mengensystem)

Ein δ-Ring (delta-Ring) ist ein spezielles Mengensystem, das in der Maßtheorie Anwendung findet, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt.

Definition

Ein δ-Ring ist ein Mengenring, der zusätzlich noch ein δ-System ist, das heißt, es ist ein nichtleeres Mengensystem, das stabil bzw. abgeschlossen ist bezüglich Vereinigung, Differenzbildung und abzählbaren Schnitten.

Schreibt man alle Forderungen an einen δ-Ring einzeln aus, so lauten sie:

1. Sind ${\displaystyle A,B}$ im δ-Ring enthalten, so ist auch ${\displaystyle A\cup B}$ enthalten. (Stabilität bezüglich Vereinigung)
2. Sind ${\displaystyle A,B}$ im δ-Ring enthalten, so ist auch ${\displaystyle A\setminus B}$ enthalten. (Stabilität bezüglich Differenzbildung)
3. Sind ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ im δ-Ring enthalten, so ist auch ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ enthalten. (Stabilität bezüglich abzählbaren Schnitten)

Eigenschaften und Beispiele

• Jeder σ-Ring ist auch immer ein δ-Ring, denn es gilt

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\setminus \bigcup _{i=2}^{\infty }(A_{1}\setminus A_{i})}$

für jede im σ-Ring enthaltene Folge von Mengen ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$.

• Die Umkehrung gilt aber im Allgemeinen nicht. Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzählbare Menge ${\displaystyle X}$ und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen

${\displaystyle {\mathcal {E}}:=\{E\subset X\,|\,|E|<\infty \}}$,

so handelt es sich um einen δ-Ring, da abzählbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind. Es ist aber kein σ-Ring, denn abzählbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich.

Verwendung

δ-Ringe finden beispielsweise bei Abwandlungen des Maßerweiterungssatzes von Carathéodory Verwendung, wo man anstelle der Erweiterung auf die von einem Ring erzeugte σ-Algebra nur auf den erzeugten δ-Ring erweitert.

Weblinks

• Allan Cortzen: Delta-Ring. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.