Übergangshalbgruppe

In der Theorie der stochastischen Prozesse wird das zeitliche Veränderungsverhalten von Markow-Prozessen durch Abbildungen ${\displaystyle P^{t}}$ (mit Zeitparameter ${\displaystyle t\geq 0}$) beschrieben, die eine sogenannte Übergangshalbgruppe bilden, genauer einen Halbgruppenhomomorphismus. Die Veränderung im Zeitintervall ${\displaystyle [0,s+t]}$ lässt sich zerlegen in die Veränderung während ${\displaystyle [0,s]}$ und die Veränderung während ${\displaystyle [s,s+t].}$ (${\displaystyle \circ }$ bezeichne die Hintereinanderausführung.)

${\displaystyle \forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad P^{[0,s]}\circ P^{[s,s+t]}=P^{[0,s+t]}}$.

Bei zeitlich homogenen Prozessen ist die Veränderung ${\displaystyle P^{[s,s+t]}}$ unabhängig von ${\displaystyle s}$ und hängt nur von der Länge ${\displaystyle t}$ des Intervalls ab. In der Schreibweise ${\displaystyle P^{t}:=P^{[0,t]}(=P^{[s,s+t]})}$ hat ${\displaystyle (P_{t})}$ folgende Eigenschaft:

${\displaystyle \forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad P^{t}\circ P^{s}=P^{s+t}}$.

Die Komposition von solchen die Veränderung während der Zeit ${\displaystyle s}$ beschreibenden Abbildungen ${\displaystyle P^{s}}$ ist also verträglich mit der Addition des Zeitparameters. Mit anderen Worten, ${\displaystyle P}$ ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen der von Zeitparameter und der Additionsoperation gebildeten Halbgruppe ${\displaystyle ([0,\infty ),+)}$ und der Halbgruppe ${\displaystyle ((P^{s})_{s\geq 0},\circ )}$ (Transformationshalbgruppe).

In abkürzender Sprechweise spricht man schlicht von einer Halbgruppe und bezeichnet als Übergangshalbgruppe die von den Übergangskernen eines zeithomogenen Markow-Prozesses gebildete. Die Verträglichkeit der Addition im Zeitparameter und die Hintereinanderausführung von Kernen wird durch die Chapman-Kolmogorow-Gleichungen beschrieben. Die Definition der Übergangshalbgruppe macht es auf diese Weise möglich, Erkenntnisse der Halbgruppentheorie auf Markow-Prozesse anzuwenden.

Übergangshalbgruppen definieren einen Markow-Operator.

Mathematische Definition (in stetiger Zeit)

Sei ${\displaystyle (M_{t})_{t\geq 0}}$ ein zeitlich homogener Markow-Prozess in stetiger Zeit auf einem Zustandsraum ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$. Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ und ${\displaystyle \mathbb {E} }$ bezeichne den Erwartungswert bzgl. ${\displaystyle \mathbb {P} }$.

Für alle ${\displaystyle x\in E}$ sei ${\displaystyle \mathbb {P} _{x}(\cdot ):=\mathbb {P} (\cdot \mid M_{0}=x)}$ und entsprechend ${\displaystyle \mathbb {E} _{x}(\cdot ):=\mathbb {E} (\cdot \mid M_{0}=x)}$ definiert.

Seien ${\displaystyle (P^{t})_{t\in \mathbb {R} _{\geq 0}}}$ die Übergangskerne. Dann gilt

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}\ \forall \,x\in E\ \forall \,A\in {\mathcal {E}}:\quad P^{t}(x,A)=\mathbb {P} _{x}(M_{t}\in A)}$

Mit der Markov-Eigenschaft gilt dann die nun folgende Chapman-Kolmogorow-Gleichung

${\displaystyle \forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}\ \forall \,x\in E\ \forall \,A\in {\mathcal {E}}:\quad P^{t+s}(x,A)=\mathbb {E} _{x}\mathbb {P} \left(M_{s+t}\in A\mid {\mathcal {F}}_{s}\right)=\mathbb {E} _{x}P^{t}(M_{s},A)=\int P^{t}(y,A)P^{s}(x,dy)\,,}$^[1]

die man in Operator-Notation kurz zusammenfasst als

${\displaystyle \forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad P^{t+s}=P^{t}P^{s}.}$

Die ${\displaystyle (P^{t})_{t\in \mathbb {R} _{\geq 0}}}$ bilden somit eine Halbgruppe, die als Übergangshalbgruppe bezeichnet wird. Über die topologischen Eigenschaften von ${\displaystyle (P^{t})_{t\geq 0}}$ ist damit noch nichts gesagt, deswegen werden meist zusätzliche Forderungen an den Markow-Prozess gemacht, so dass ${\displaystyle (P^{t})_{t\geq 0}}$ in gewisser Hinsicht stetig ist – zum Beispiel im Falle der Feller-Prozesse, wobei ${\displaystyle (P^{t})_{t\geq 0}}$ eine stark stetige Halbgruppe auf ${\displaystyle C_{0}}$ darstellt.

Quellen

• Sören Asmussen: Applied Probability and Queues. 2. Auflage, Springer-Verlag, New-York 2003, ISBN 0387002111

Fußnoten

1. ↑ Asmussen, Seite 33