Ähnlichkeitsdifferentialgleichung

In der Mathematik ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung (auch homogene Differentialgleichung oder Euler-homogene Differentialgleichung) eine Differentialgleichung der Form

${\displaystyle x^{\prime }=f({\frac {x}{t}})}$

für eine stetige Funktion ${\displaystyle f}$.

Ansatz

Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen ${\displaystyle x^{\prime }=f({\frac {x}{t}})}$ werden mit der Transformation ${\displaystyle u={\frac {x}{t}}}$ in die Differentialgleichung

${\displaystyle u^{\prime }={\frac {1}{t}}(f(u)-u)}$

überführt, die mit der Methode der Trennung der Variablen gelöst werden kann.

Beispiele

1. Die Differentialgleichung ${\displaystyle x^{\prime }=1+{\frac {x}{t}}}$ wird mit der Transformation ${\displaystyle u={\frac {x}{t}}}$ in die Differentialgleichung ${\displaystyle u^{\prime }={\frac {1}{t}}}$ mit den Lösungen ${\displaystyle u(t)=\ln(t)+C}$ überführt. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind also von der Form ${\displaystyle x(t)=t\cdot \ln(t)+Ct}$ mit einer Konstanten ${\displaystyle C}$.
2. Die Differentialgleichung ${\displaystyle x^{\prime }={\frac {x}{t}}-{\frac {x^{2}}{t^{2}}}}$ wird mit der Transformation ${\displaystyle u={\frac {x}{t}}}$ in die Differentialgleichung ${\displaystyle u^{\prime }=-{\frac {u^{2}}{t}}}$ mit den Lösungen ${\displaystyle u(t)={\frac {1}{\ln \vert t\vert +C}}}$ überführt. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind also von der Form ${\displaystyle x(t)={\frac {t}{\ln \vert t\vert +C}}}$ mit einer Konstanten ${\displaystyle C}$.
3. Die Differentialgleichung ${\displaystyle x^{\prime }={\frac {x^{2}+t^{2}}{tx}}}$ ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung, weil sie in der Form ${\displaystyle x^{\prime }={\frac {x}{t}}+\left({\frac {x}{t}}\right)^{-1}}$ geschrieben werden kann. Mit ${\displaystyle u={\frac {x}{t}}}$ erhält man die Differentialgleichung ${\displaystyle u^{\prime }={\frac {1}{ut}}}$ mit den Lösungen ${\displaystyle u(t)=\pm {\sqrt {2\ln \vert t\vert +C}}}$, also ${\displaystyle x(t)=\pm t{\sqrt {2\ln \vert t\vert +C}}}$ mit einer Konstanten ${\displaystyle C}$.
4. Gesucht ist eine Kurve in der ${\displaystyle x-y-}$Ebene, so dass für jeden Punkt auf der Kurve seine Entfernung vom Ursprung gleich der ${\displaystyle y-}$Koordinate des Schnittpunkts seiner Tangente mit der ${\displaystyle y-}$Achse ist. Dies führt auf die Differentialgleichung ${\displaystyle y-x{\frac {dy}{dx}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, die zur Ähnlichkeitsdifferentialgleichung ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}-{\sqrt {1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}}}}$ äquivalent ist. Mit ${\displaystyle t=x,u={\frac {y}{x}}}$ erhält man die Differentialgleichung ${\displaystyle u^{\prime }=-{\frac {1+u^{2}}{t}}}$, deren Lösungen von der Form ${\displaystyle u(t)=\sinh(-\ln \vert t\vert +C)}$ sind. Die Lösungen der ursprünglichen Differentialgleichung sind mit ${\displaystyle D=e^{C}}$ also von der Form ${\displaystyle y(x)={\frac {D}{2}}-{\frac {x^{2}}{D}}}$ mit einer positiven Konstanten ${\displaystyle D}$.

Weblinks

• Homogeneous differential equations (Math is Fun)
• Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen (Mathepedia)
• First-order homogeneous equation (CliffsNotes)