Zahl 60

Autor/Urheber:

jobu0101

Shortlink:

https://dewiki.de/b/10e2da

Quelle:

Wikimedia Commons

Größe:

1200 x 1200 Pixel (13576 Bytes)

Beschreibung:

Der Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /60\mathbb {Z} }$ graphisch dargestellt. Jedem der 60 Elemente von ${\displaystyle \mathbb {Z} /60\mathbb {Z} }$ ist eine Spalte und eine Zeile zugeordnet. Das Produkt zweier Elemente ist dann farblich an der entsprechenden Position dargestellt, dabei steht schwarz für die Null, rot für die Eins und grün für den Rest (also 2-59). Damit lässt sich anhand des Beispiels sofort ablesen, welche Elemente aus ${\displaystyle \mathbb {Z} /60\mathbb {Z} }$ invertierbar sind. Genau die, in deren Zeile oder Spalte ein roter Punkt auftritt. Damit lässt sich dann auch sofort das inverse Element ablesen (die jeweils andere Koordinate). Des Weiteren folgt daraus, dass in jeder Zeile und jeder Spalte mit rotem Punkt nur ein einziger schwarzer auftaucht (nämlich an erster Stelle für die Null). Die Anzahl aller roten Punkte ist dann gerade ${\displaystyle \varphi (60)=16}$ (siehe Eulersche φ-Funktion), also die Anzahl der invertierbaren Elemente in ${\displaystyle \mathbb {Z} /60\mathbb {Z} }$. Da die Multiplikation in ${\displaystyle \mathbb {Z} /60\mathbb {Z} }$ kommutativ ist, ist das Bild symmetrisch.

Beispiele:

• Die erste Spalte und erste Zeile ist komplett schwarz, da ${\displaystyle 0\cdot x}$ und ${\displaystyle x\cdot 0}$ für alle x Null ist.
• Das Feld (1,1) ist rot, da ${\displaystyle 1\cdot 1=1}$.
• Das Feld (7,43) ist auch rot, da ${\displaystyle 7\cdot 43=1}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /60\mathbb {Z} }$.
• Das Feld (18,4) ist grün, da ${\displaystyle 18\cdot 4=12}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /60\mathbb {Z} }$.
• Die 30. Spalte ist abwechselnd schwarz und grün, da ${\displaystyle 30\cdot x}$ abwechselnd Null und 30 ist (für gerade x Null, für ungerade 30).

Lizenz:

CC BY-SA 3.0

Credit:

Eigenes Werk (Originaltext: selbst erstellt)

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