Singular-Value-Decomposition

Autor/Urheber:

Georg-Johann

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Shortlink:

https://dewiki.de/b/e2005

Quelle:

Wikimedia Commons

Größe:

512 x 463 Pixel (12596 Bytes)

Beschreibung:

Veranschaulichung einer Singulärwertzerlegung (SVD) der 2-dimensionalen, reellen Scherung

${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$

Oben links sieht man den Einheitskreis in blau zusammen mit den Standard-Einheitsvektoren. Oben rechts sieht man das Bild des Einheitskreises unter M: der Kreis wird zu einer Ellipse verzogen. Die SVD zerlegt M in drei einfache Transformationen: eine Rotation V^*, eine Dehnung Σ entlang der Koordinatenachsen und eine zweite Rotation U. Die Zerlegung lässt direkt die Längen σ₁ bzw. σ₂ der großen bzw. kleinen Halbachse der Ellipse erkennen; die Werte stehen in der Hauptdiagonalen von Σ. Die Rotation der Ellipse in Bezug auf das Koordinatensystem wird durch U beschrieben.

In diesem speziellen Fall sieht die Singulärwertzerlegung aus wie folgt::

• σ₁ = Φ wobei Φ ≈ 1.618 den Goldenen Schnitt bezeichnet
• σ₂ = 1/Φ
• V^* = eine Drehung um α im Uhrzeigersinn, wobei tan(α) = Φ, d.h. V ist eine Drehung um −α ≈ −58.28°.
• U = eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um β wobei gilt tan(β) = Φ−1, d.h. β ≈ 31.72°.

In der Zerlegung ist nur Σ eindeutig bestimmt; U und V sind es nicht: zu U und V könnten Drehungen um 180° oder Spiegelungen hinzugenommen werden.

Lizenz:

CC BY-SA 3.0

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Weitere Informationen zur Lizenz des Bildes finden Sie hier. Letzte Aktualisierung: Sun, 01 Oct 2023 10:07:28 GMT

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