File:Moduleigenschaften kommutative Algebra.svg

Deutsch: Eigenschaften von Moduln in der kommutativen Algebra und Implikationen zwischen ihnen. ${\displaystyle M}$ steht für den Modul, ${\displaystyle A}$ für den Grundring.

Begründungen/Referenzen:

• frei ⇒ projektiv: projektive Moduln lassen sich als direkte Summanden freier Moduln charakterisieren: Lang III.4, S. 137
• projektiv ⇒ flach: selber Grund; freie Moduln sind flach, weil Tensorprodukte mit direkten Summen vertauschen
• flach ⇒ torsionsfrei: die Torsion ist der Kern von ${\displaystyle M\otimes (A\to Q)}$, wenn ${\displaystyle Q}$ der Totalquotientenring von ${\displaystyle A}$ ist
• ${\displaystyle M}$ torsionsfrei + ${\displaystyle A}$ Dedekind ⇒ ${\displaystyle M}$ flach: Liu, Corollary 1.2.14
• flach und endlich präsentiert ⇒ projektiv: Matsumura, Corollary 7.12
• ${\displaystyle M}$ projektiv + ${\displaystyle A}$ lokal ⇒ ${\displaystyle M}$ frei: Matsumura, Theorem 2.5
• ${\displaystyle M}$ projektiv + ${\displaystyle A}$ Hauptidealring ⇒ ${\displaystyle M}$ frei: Lang, Theorem III.7.1, S. 146, und App. 2.2, S. 880

Literatur

• Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006. ISBN 0-19-920249-4
• Serge Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X
• Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6