Sylow-Sätze

Die Sylow-Sätze (nach Ludwig Sylow) sind drei mathematische Sätze aus der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Sie erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und auch einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren.

Im Gegensatz zu endlichen zyklischen Gruppen kann man bei beliebigen endlichen Gruppen im Allgemeinen nichts über die Existenz und Anzahl von Untergruppen aussagen. Man weiß lediglich aus dem Satz von Lagrange, dass jede Untergruppe einer Gruppe eine Ordnung hat, die Teiler der Ordnung von ist. Die Sylowsätze liefern hier zusätzliche Aussagen, erlauben allerdings auch keine vollständige Klassifikation endlicher Gruppen. Diese vollzieht sich über die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.

Neben Ludwig Sylow (1872) gaben unter anderem Eugen Netto und Alfredo Capelli Beweise.

Die Sätze

Sei im Folgenden eine endliche Gruppe der Ordnung , wobei eine Primzahl und eine zu teilerfremde natürliche Zahl seien. Eine maximale -Untergruppe von wird -Sylowuntergruppe genannt.

  1. Für alle besitzt eine Untergruppe der Ordnung . Insbesondere haben die maximalen -Untergruppen von die Ordnung .
  2. Sei eine -Sylowuntergruppe. Dann enthält von jeder Untergruppe , die p-Gruppe ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein mit .
  3. Die Anzahl der -Sylowuntergruppen ist ein Teiler von und von der Form mit .

Folgerungen

  • Satz von Cauchy: Ist eine Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl geteilt wird, so gibt es in ein Element der Ordnung . Der Satz von Cauchy (1845) war der Ausgangspunkt von Sylow für seine Sätze, die diesen Satz von Cauchy erweiterten.
  • Je zwei -Sylowgruppen einer Gruppe sind konjugiert und damit isomorph.
  • Sei eine Gruppe und eine -Sylowuntergruppe. Dann ist genau dann Normalteiler von , wenn die einzige -Sylowuntergruppe von ist.
  • Sei eine endliche Gruppe, deren Ordnung von einer Primzahl geteilt wird. Ist abelsch, so gibt es nur eine -Sylowuntergruppe in .

Beispiele

Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch

Sei eine Gruppe der Ordnung . Bezeichnet man mit die Anzahl der 3-Sylowuntergruppen von und mit die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen von , so gilt:

  1. und , also muss gelten.
  2. und , also muss gelten.

Also sind die 3-Sylowuntergruppe und die 5-Sylowuntergruppe Normalteiler von G. Als p-Untergruppen zu verschiedenen Primzahlen ist ihr Durchschnitt , wobei das neutrale Element von bezeichnet. Daher ist ihr Komplexprodukt direkt, das heißt (s. Komplementäre Normalteiler und direktes Produkt). Da das direkte Produkt die Ordnung 15 hat, muss sein, und mit dem chinesischen Restsatz folgt .

Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 162

Sei . Nach den Sylow-Sätzen existiert eine Untergruppe der Ordnung (nämlich eine 3-Sylowgruppe). Diese ist von Index 2, also normal. ist folglich nicht einfach.

Alternativ gilt und , sodass und damit die 3-Sylowgruppe ein nicht-trivialer Normalteiler von ist. Folglich kann nicht einfach sein.

Literatur

  • Ludwig Sylow: Théorèmes sur les groupes de substitutions. In: Mathematische Annalen, Band 5, 1872, S. 584–594
  • Kurt Meyberg: Algebra – Teil 1. Hanser, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 69–77
  • Michael Holz: Repetitorium der Algebra. Binomi, 2005, ISBN 3-923923-44-9, S. 251–263

Weblinks

Wikibooks: Beweis der Sylow-Sätze – Lern- und Lehrmaterialien