Spektrum eines Ringes

Das Spektrum eines Ringes ist ein Konstrukt aus der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Das Spektrum eines Ringes ${\displaystyle R}$ ist die Menge aller Primideale in ${\displaystyle R}$, in Zeichen

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{P\mid P\subseteq R{\text{ mit }}P{\text{ Primideal}}\}.}$

Es bezeichnet das dem Ring entsprechende geometrische Objekt.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

Für einen Ring ${\displaystyle R}$ ist das Spektrum ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ein topologischer Raum mit einer Garbe von Ringen:

• Die dem Raum zugrundeliegende Menge ist die Menge der Primideale von ${\displaystyle R}$.
• Die Topologie ist die Zariski-Topologie, bei der eine Basis der offenen Mengen durch die Mengen

${\displaystyle D(f)=\{P\in \operatorname {Spec} R\mid f\notin P\}}$

für Elemente ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle R}$ gegeben ist.

• Die Schnitte der Strukturgarbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}}$ über ${\displaystyle D(f)}$ sind gleich der Lokalisierung ${\displaystyle R_{f}}$. Insbesondere ist

${\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} R,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R})=R}$.

Lokal geringte Räume, die isomorph zum Spektrum eines Ringes sind, werden affine Schemata genannt.

Beispiele

• Das Spektrum eines Körpers besteht aus einem einzelnen Punkt; die Schnitte der Strukturgarbe über diesem Punkt sind gleich dem Körper selbst.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ besteht aus der 0 und den (positiven) Primzahlen; offene Mengen sind Komplemente einer endlichen Menge von Primzahlen ${\displaystyle S}$; die Schnitte der Strukturgarbe über einer solchen offenen Menge sind die rationalen Zahlen, deren Nenner nur Primfaktoren aus ${\displaystyle S}$ enthalten.
• Der ${\displaystyle n}$-dimensionale affine Raum über einem Ring ${\displaystyle R}$ ist das affine Schema ${\displaystyle \operatorname {Spec} R[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$. Ist ${\displaystyle R=k}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte (äquivalent: die maximalen Ideale) bijektiv den Punkten im Raum ${\displaystyle k^{n}}$ (Siehe: Hilbertscher Nullstellensatz).
• Sei ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorff-Raum und sei ${\displaystyle R}$ der Ring der komplexwertigen stetigen Funktionen auf ${\displaystyle X}$, dann entsprechen die abgeschlossenen Punkte im Spektrum bijektiv den Punkten in ${\displaystyle X}$. Man kann auf diese Weise den Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}$ topologisch in den (im Allgemeinen nichthausdorffschen) Raum ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ einbetten. Dieses Beispiel verbindet das hier behandelte Spektrum der Ringtheorie mit dem Gelfand-Spektrum einer Banachalgebra, wie es in der Funktionalanalysis und der Operatorentheorie untersucht und verwendet wird.

Eigenschaften

• Das Spektrum eines Ringes ist ein lokal geringter Raum: der Halm der Strukturgarbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}}$ in einem Punkt ${\displaystyle P}$ ist der lokale Ring ${\displaystyle R_{P}}$.
• Das Spektrum eines Ringes ist stets quasi-kompakt.
• Die Bildung des Spektrums ist ein kontravarianter Funktor: Für einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon A\to B}$ ist ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\varphi )\colon \operatorname {Spec} (B)\to \operatorname {Spec} (A)}$ stetig, genauer: ein Homomorphismus lokal geringter Räume.
• Der Funktor Spec ist eine Kategorienäquivalenz zwischen der Kategorie der Ringe (kommutativ mit Eins) und der Kategorie der affinen Schemata, insbesondere ist jeder Morphismus von affinen Schemata von der Form ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\varphi )}$ für einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }$.

Siehe auch

• Spektrum (Operatortheorie)

Literatur

• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9