Satz von Mackey-Arens

Der Satz von Mackey-Arens (nach George Mackey und Richard Friederich Arens) ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, genauer aus der Theorie der lokalkonvexen Räume. Der Satz von Mackey-Arens behandelt die Frage, in welchen Topologien bestimmte wichtige Abbildungen stetig sind.

Genauer sei ein lokalkonvexer Raum ${\displaystyle E}$ mit einer Topologie ${\displaystyle t}$ gegeben. Dann betrachtet man den Dualraum E' der bezüglich ${\displaystyle t}$ stetigen, linearen Funktionale auf ${\displaystyle E}$. Die Frage ist nun, welche weiteren lokalkonvexen Topologien auf ${\displaystyle E}$ zu denselben stetigen, linearen Funktionalen wie ${\displaystyle t}$ führen. Solche Topologien heißen zulässig.

Es stellt sich heraus, dass es eine schwächste und eine stärkste zulässige Topologie gibt.

Die schwächste zulässige Topologie

Die schwächste zulässige Topologie, d. h. die schwächste Topologie, bzgl. der alle Funktionale aus E' stetig sind, ist die schwache Topologie ${\displaystyle \sigma (E,E')}$. Es ist klar, dass es keine zulässige Topologie geben kann, die echt schwächer ist, und es ist nicht schwer zu zeigen, dass ${\displaystyle \sigma (E,E')}$ selbst zulässig ist.

Die Mackey-Topologie

Der Dualraum E' trägt die schwach-*-Topologie, das ist die schwächste Topologie auf E', die alle Abbildungen der Form ${\displaystyle {\hat {x}}:E'\rightarrow {\mathbb {K} },\,f\mapsto f(x)}$, wobei ${\displaystyle x\in E}$, stetig macht. Sei ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ die Menge aller absolutkonvexen und schwach-*-kompakten Mengen ${\displaystyle M\subset E'}$. Zu ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}}$ sei ${\displaystyle p_{M}}$ die durch ${\displaystyle \textstyle p_{M}(x):=\sup _{f\in M}|f(x)|}$ definierte Halbnorm auf ${\displaystyle E}$. Dann definiert die Menge ${\displaystyle \{p_{M};M\in {\mathcal {M}}\}}$ eine lokalkonvexe Topologie auf ${\displaystyle E}$, die man die Mackey-Topologie auf ${\displaystyle E}$ nennt und mit ${\displaystyle \tau (E,E')}$ bezeichnet. Identifiziert man ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle {\hat {x}}}$, d. h. mit einer Funktion auf E', so ist die Mackey-Topologie nichts anderes als die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf absolutkonvexen, schwach-*-kompakten Mengen.

Es zeigt sich nun, dass man mit der Mackey-Topologie die zulässigen Topologien charakterisieren kann.

Satz von Mackey-Arens

• Ist ${\displaystyle E}$ ein lokalkonvexer Raum, so ist eine lokalkonvexe Topologie ${\displaystyle s}$ auf ${\displaystyle E}$ genau dann zulässig, wenn ${\displaystyle \sigma (E,E')\subset s\subset \tau (E,E')}$.

Nach diesem Satz ist die Mackey-Topologie die stärkste zulässige Topologie auf ${\displaystyle E}$, die Existenz einer solchen Topologie ist nicht offensichtlich! Die Ausgangstopologie von ${\displaystyle E}$ ist definitionsgemäß selbst zulässig, liegt also ebenfalls zwischen ${\displaystyle \sigma (E,E')}$ und ${\displaystyle \tau (E,E')}$. Stimmt die Ausgangstopologie von ${\displaystyle E}$ mit der Mackey-Topologie überein, so nennt man ${\displaystyle E}$ einen Mackey-Raum. Man kann zeigen, dass quasitonnelierte Räume stets Mackey-Räume sind. Insbesondere sind daher alle tonnelierten und alle bornologischen Räume Mackey-Räume.

Satz von Mackey

Eine Menge ${\displaystyle B}$ eines lokalkonvexen Raums heißt beschränkt, wenn es zu jeder Nullumgebung ${\displaystyle U}$ ein ${\displaystyle r>0}$ gibt mit ${\displaystyle B\subset rU}$. Die Beschränktheit hängt damit von der Topologie ab. Daher ist der folgende Satz von Mackey bemerkenswert:

Für eine Teilmenge ${\displaystyle B}$ eines lokalkonvexen Raumes sind äquivalent:

• ${\displaystyle B}$ ist beschränkt bzgl. der Topologie auf ${\displaystyle E}$.
• ${\displaystyle B}$ ist bezüglich jeder zulässigen Topologie beschränkt.
• ${\displaystyle B}$ ist bezüglich ${\displaystyle \sigma (E,E')}$ beschränkt.
• ${\displaystyle B}$ ist bezüglich ${\displaystyle \tau (E,E')}$ beschränkt.

Bedeutung

Der Sätze von Mackey und Mackey-Arens und die Mackey-Topologie spielen eine wichtige Rolle in der Dualitätstheorie lokalkonvexer Räume. Sie finden u. a. Anwendung in der Charakterisierung der Halbreflexivität. Weitere Folgerungen sind Sätze der Art

• Der schwache Dualraum eines tonnelierten Raums ist folgenvollständig.
• Der schwache Dualraum eines Fréchet-Raums, der kein Banachraum ist, ist nicht metrisierbar.

In den mathematischen Wirtschaftswissenschaften treten sogenannte Präferenz- oder Nutzenfunktionen auf gewissen ${\displaystyle L^{\infty }}$-Räumen auf, auf denen man die schwach-*-Topologie der ${\displaystyle L^{1}}$-${\displaystyle L^{\infty }}$-Dualität betrachtet. Diese Nutzenfunktionen sind im Allgemeinen unstetig bzgl. der schwach-*-Topologie aber stetig bzgl. der feineren Mackey-Topologie ${\displaystyle \tau (L^{\infty },L^{1})}$.

Literatur

• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8
• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968