Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition

Es sei eine natürliche Zahl. Dann ist der -te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung von , die durch Adjunktion der Menge aller -ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften

  • Ist eine primitive -te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von das -te Kreisteilungspolynom , deshalb ist
Insbesondere ist der Erweiterungsgrad mit der eulerschen φ-Funktion.[1]
  • Zwei Kreisteilungskörper und mit sind genau dann gleich, wenn ungerade ist und gilt.
  • Die Adjunktion der -ten Einheitswurzeln zu ergibt mit
  • Die Erweiterung ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu ist eine primitive -te Einheitswurzel, so entspricht einem Element der durch
definierte Automorphismus von [1]
  • Der Ganzheitsring von ist mit einer beliebigen primitiven -ten Einheitswurzel .[2]
  • Insbesondere ist der Ganzheitsring von gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.

Diskriminante und Verzweigung

Die Diskriminante von für ist[3]

Die in verzweigten Primzahlen sind gerade die Primteiler der Diskriminante. Insbesondere ist eine ungerade Primzahl genau dann verzweigt in , wenn sie ein Teiler von ist. Die ist genau dann verzweigt, wenn . Eine Primzahl ist genau dann voll zerlegt, wenn gilt.[4]

Ist eine Primzahlpotenz, so ist die einzige verzweigte Primzahl in . ist dann unzerlegt und vollständig verzweigt. Man kann zeigen, dass ein Element mit Norm ist. Das einzige Primideal über ist also das Hauptideal, das von erzeugt wird:

Für die Diskriminante ergibt sich .[5]

Satz von Kronecker-Weber

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Idealklassengruppe

Die Klassenzahl von besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren und .[6] Hierbei ist die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers und die Relativklassenzahl. Die Idealklassengruppe von kann als Untergruppe der Idealklassengruppe von aufgefasst werden.[7]

Die Relativklassenzahl kann mithilfe von Dirichlet-Charakteren und Bernoulli-Zahlen explizit bestimmt werden.[8]

Die Klassenzahl von zu bestimmen, ist im Allgemeinen schwierig. Aus dem Satz von Brauer-Siegel, der eine Aussage über das asymptotische Verhalten der Klassenzahl macht, lässt sich folgern, dass für . Insbesondere gibt es nur endlich viele Kreisteilungskörper mit Klassenzahl .[9] Die vollständige Liste aller mit lautet[10]

In genau diesen Fällen ist ein Hauptidealring und es gibt eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen.

Die ungelöste Vandiver-Vermutung[11] sagt voraus, dass die Primzahl kein Teiler von ist.

Literatur

  • Serge Lang: Cyclotomic Fields I and II (= Graduate Texts in Mathematics. 121). Combined 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1990, ISBN 3-540-96671-4.
  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
  • Lawrence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. 83). Springer, Berlin u. a. 1982, ISBN 3-540-90622-3 (2nd edition. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-94762-0).
  • Senon I. Borewicz, Igor R. Šafarevič: Zahlentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. 32). Springer, Basel 1966, ISBN 978-3-0348-6945-4.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. a b Washington: Theorem 2.5 (S. 11 in der Google-Buchsuche).
  2. Neukirch: Satz I.10.2.
  3. Washington: Proposition 2.7 (S. 12 in der Google-Buchsuche).
  4. Neukirch: Korollar I.10.4.
  5. Neukirch: Lemma I.10.1.
  6. Nach Washington, Theorem 4.10 (S. 39 in der Google-Buchsuche) ist ein Teiler von .
  7. Washington: Theorem 4.14.
  8. Washington: Theorem 4.17.
  9. Washington: Theorem 4.20 (S. 45 in der Google-Buchsuche).
  10. Washington: Theorem 11.1. – Die Liste wurde durch Doppelungen im Fall ergänzt.
  11. Borewicz, Šafarevič: S. 243 in der Google-Buchsuche.