Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Definitionen

Symplektische Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur , welche mit der symplektischen Form kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form

auf dem Tangentialraum von an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

Komplexe Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer hermitischen Metrik dessen zugehörige 2-Form ist geschlossen. Genauer gesagt, gibt eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum an jedem Punkt von und die 2-Form ist definiert durch

für Tangentialvektoren und . Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik angesehen werden definiert durch

Riemannsche Sichtweise

Sei eine glatte Mannigfaltigkeit, eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung mit und eine riemannsche Metrik, wobei den Raum der glatten Vektorfelder auf bezeichnet. Das Tripel heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn

für alle Vektorfelder gilt und

  • eine symplektische Form

ist. Die 2-Form heißt dann die Kähler-Form von .

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Hogde-Theorie für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension N, ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten -Formen als definiert, wobei die äußere Ableitung und ist und den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermetische Mannigfaltigkeit werden und zerlegt als

und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:

Wenn Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:

Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit die Gleichheit

gilt, wobei der Raum harmonischer -Formen auf (Formen mit ) und der Raum harmonischer -Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform harmonisch ist, wenn alle ihre -Komponenten harmonisch sind.

Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit , gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie von mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:

Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

  1. Der komplexe Raum .
  2. Ein kompakt komplexer Torus .
  3. Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
  4. Der komplex-projektive Raum und projektive Varietäten .
  5. Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
  6. Hermetisch symmetrische Räume.
  7. Jede K-3 Oberfläche ist Kähler.
  8. Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.

Siehe auch

Weblinks

Literatur

  • Alan Huckleberry, Tilman Wurzbacher (Hrsg.): Infinite Dimensional Kähler Manifolds (= DMV-Seminar. Bd. 31). Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6602-8.
  • Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Bd. 69). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-68897-0.