Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung^[1] (auch: gleichförmig beschleunigte Bewegung^[2]) ist eine Bewegung, bei der die Beschleunigung bezüglich Stärke und Richtung konstant ist. Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine geradlinige (eindimensionale) Bewegung, wenn Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit kollinear sind. Ist dies nicht der Fall, entsteht eine (zweidimensionale) Parabel als Bahnkurve. Durch die Wahl eines Inertialsystems, in dem die Anfangsgeschwindigkeit null ist, erhält man stets eine geradlinige Bewegung. Wenn die Beschleunigung zu null wird, erhält man die gleichförmige Bewegung.

Beispiele für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung sind der freie Fall oder der schräge Wurf ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes.

Gesetze

Bei einer geradlinigen Bewegung ist es zweckmäßig, die Koordinatenachse entlang der Bewegungsrichtung auszurichten. Dann kann man für Berechnungen Zahlen (Skalare) statt Vektoren verwenden (Skalarform). Es genügt, die Orientierung des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors durch das Vorzeichen auszudrücken. Eine Richtung (meist die Bewegungsrichtung) wird als positiv ausgezeichnet, die Gegenrichtung als negativ.

Verläuft die gleichmäßig beschleunigte Bewegung nicht geradlinig, so ist die allgemeinere Vektorform zu verwenden. Es gelten folgende Gesetze:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
		Skalarform		Vektorform
notwendige Bedingung		$a={\text{const.}}$		${\vec {a}}={\text{const.}}$
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz		$v(t)={\dot {s}}(t)=at+v_{0}$		${\vec {v}}(t)={\dot {\vec {s}}}(t)={\vec {a}}t+{\vec {v}}_{0}$
Weg-Zeit-Gesetz		$s(t)={\frac {a}{2}}t^{2}+v_{0}t+s_{0}$		${\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {s}}_{0}$

verwendete Formelzeichen
$a,{\vec {a}}$	Beschleunigung		$\left[{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\right]$	${\begin{aligned}{\vec {a}}&={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {v}}}(t)\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {s}}}(t)\end{aligned}}$
$s(t),{\vec {s}}(t)$	Position zum Zeitpunkt $t$		$\left[{\text{m}}\right]$
$s_{0},{\vec {s}}_{0}$	Anfangsposition (Anfangsweg) zum Zeitpunkt $t=0$		$\left[{\text{m}}\right]$	${\vec {s}}_{0}={\vec {s}}(t=0)$
$t$	Zeit		$\left[{\text{s}}\right]$
$v(t),{\vec {v}}(t)$	Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$		$\left[{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\right]$	${\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {s}}}(t)$
$v_{0},{\vec {v}}_{0}$	Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$		$\left[{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\right]$	${\vec {v}}_{0}={\vec {v}}(t=0)$

Herleitung

Die Beschleunigung entspricht allgemein der Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

{\dot {\vec {v}}}={\vec {a}}.

Aus dieser Differentialgleichung erhält man die Geschwindigkeit durch einfache Integration. Bei konstanter Beschleunigung liefert dies das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz

{\vec {v}}(t)={\vec {a}}\,t+{\vec {v}}_{0},

wobei die Integrationskonstante ${\vec {v}}_{0}$ die Anfangsgeschwindigkeit ist. Die so gefundene Geschwindigkeit entspricht wiederum der ersten Ableitung der Position nach der Zeit. Folglich erhält man die Position durch abermalige Integration nach der Zeit (Weg-Zeit-Gesetz):

{\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {s}}_{0},

wobei ${\vec {s}}_{0}$ die Anfangsposition ist.

Weblinks

Wikibooks: Formelsammlung Klassische Mechanik – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

↑ Rainer Müller: Klassische Mechanik: Vom Weitsprung zum Marsflug. 4. Auflage. De Gruyter, Berlin 2021, ISBN 978-3-11-073538-3, S. 43.
↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. 9. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-62727-3, S. 45 f.

[1] Rainer Müller: Klassische Mechanik: Vom Weitsprung zum Marsflug. 4. Auflage. De Gruyter, Berlin 2021, ISBN 978-3-11-073538-3, S. 43.

[2] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. 9. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-62727-3, S. 45 f.

[1]

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