Fünfeck

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Ein Fünfeck, auch Pentagon (von altgriechisch πεντάγωνονpentágōnon „Fünfeck“), ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert.

Einteilung

Fünfecke können, wie alle Polygone, welche keine Dreiecke sind, unterteilt werden in:

  • überschlagenes Fünfeck: Mindestens zwei Seiten schneiden einander.
  • konkaves Fünfeck: mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°. Ein Fünfeck kann maximal zwei derartige Winkel haben.
  • konvexes Fünfeck: alle Innenwinkel sind kleiner als 180°
  • Sehnenfünfeck: alle Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.
  • regelmäßiges Fünfeck: Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Regelmäßige Fünfecke können konvex oder überschlagen sein.
  • regelmäßiges überschlagenes Fünfeck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal einer oder zwei übersprungen werden und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.
Es gibt nur einen regelmäßigen Fünfstrahlstern, das Pentagramm. Da es mit einem geschlossenen Polygonzug gezeichnet werden kann, ist es auch ein sogenanntes Sternpolygon mit dem Schläfli-Symbol .

Allgemeines Fünfeck

Winkel

Die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 540°, also 3 mal 180°, und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für Polygone, in der für die Variable die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall ):

Fläche

Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt.

Regelmäßiges Fünfeck

Formeln

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Fünfeck
Innenwinkel

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Zentriwinkel

Flächeninhalt
Höhe
Seitenlänge

Länge der Diagonalen

Umkreisradius

Inkreisradius

Anschauungshilfe zur Herleitung nebenstehender Aussagen über Winkel

Innenwinkel

Der Winkel, den zwei benachbarte Seiten im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone):

oder auch

Zentriwinkel

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable die Zahl einzusetzen.

oder auch

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt A eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge ist das Fünffache des Flächeninhalts eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks.

Allgemein mit dem Umkreisradius ru

oder auch

Seitenlänge und Umkreisradius

Skizze zur Berechnung der Seitenlänge, des Umkreisradius sowie für die Länge der Diagonalen

Das Fünfeck wird in 5 kongruente Dreiecke zerlegt. Nimmt man die Hälfte eines solchen Dreiecks, also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten , Umkreisradius und Inkreisradius sowie mit dem halben Zentriwinkel so gilt

,

daraus folgt  

.

Löst man nach auf, so erhält man

.

Verwendet man für die Sinus-Werte deren Quadratwurzeln, so gilt auch

.
.

Länge der Diagonalen

Im nebenstehenden Bild ist eine von vier möglichen Diagonalen eingezeichnet. Die Diagonale lässt sich aus dem Hilfsdreieck bestimmen. Es ergibt sich

,

daraus folgt

.

Verwendet man die Quadratwurzel des Sinus-Wertes

so gilt auch

.

Inkreisradius

Skizze zur Berechnung des Inkreisradius

Auch der Inkreisradius lässt sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks, sprich mit dem rechtwinkligen Dreieck , ermitteln. Es ergibt sich

,

daraus folgt

.

Wegen

und der Quadratwurzel des Sinuswertes

,

eingesetzt in

,

gilt auch

.

Der Goldene Schnitt im Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d. h. AD verhält sich zu BD wie BD zu CD.[1]

Der Beweis nutzt die Ähnlichkeit gewählter Dreiecke.

Grundfigur Fünfeck und Pentagramm mit mehreren Teilungen der Diagonalen im Goldenen Schnitt
  
Jede Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu jeder seiner beiden benachbarten Diagonalen
Die Diagonalen teilen sich untereinander im goldenen Verhältnis
  
  

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis

Konstruktion eines Fünfecks in einem umschließenden Kreis

Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakte Konstruktion zur Bestimmung der Seitenlänge (siehe Abbildung).

  1. Zeichne einen Kreis (späterer Umkreis, blau) mit Radius r um den Mittelpunkt M.
  2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Durchmesser (rot) ein.
  3. Halbiere einen Radius (magenta, Punkt D).
  4. Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius DE um Punkt D. Er schneidet die Gerade AM im Punkt F. Die Strecke EF ist die Länge der Seite.
  5. Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren Kreisbogen (orange) mit Radius EF um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.

Berechnung zur Konstruktion:

Umformen des Faktors:

Das entspricht genau dem Faktor in der obigen Formel für die Seitenlänge.

Die Seiten des nicht eingezeichneten Dreiecks MFE entsprechen exakt den Seitenlängen des regelmäßigen Sechsecks (ME), des regelmäßigen Fünfecks (EF) und des regelmäßigen Zehnecks (FM) mit dem gegebenen Umkreisradius r.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge

Mit Anwendung des Goldenen Schnitts, äußere Teilung

Fünfeck bei gegebener Seitenlänge
  1. Zeichne eine Strecke AB, welche die Länge der vorgegebenen Seite des Fünfecks hat.
  2. Verlängere die Strecke ab dem Punkt A um ca. drei Viertel der Strecke AB.
  3. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius AB.
  4. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius AB, es ergibt sich der Schnittpunkt F.
  5. Fälle ein Lot von Punkt F auf die Strecke AB mit Fußpunkt G.
  6. Zeichne eine Parallele zur Strecke FG ab dem Punkt A bis über den Kreisbogen um Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt H.
  7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt G mit dem Radius GH bis zur Verlängerung der Strecke AB, es ergibt sich der Schnittpunkt J.
  8. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius BJ bis über die Senkrechte, die durch den Punkt F geht, es ergeben sich die Schnittpunkte D auf der Senkrechten und E mit dem Kreisbogen um Punkt A.
  9. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius BA, bis er den Kreisbogen um Punkt B schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
  10. Verbinde die Punkte B-C-D-E-A, somit ergibt sich das regelmäßige Fünfeck.

Fazit

Wie in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis, ist auch hier der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein.

Für den Vergleich der Konstruktionsvarianten sind die Punktebezeichnungen mit Indizes ergänzt: u für die Konstruktion mit gegebenem Umkreis, s für die Konstruktion mit gegebener Seitenlänge.

  1. Seite des Fünfecks:
  2. Radius für den Goldenen Schnitt:
  3. Streckenverhältnisse des Goldenen Schnitts:

Papierfaltung

Durch Zusammenziehen eines aus einem Papierstreifen geschlungenen Überhandknotens nimmt dieser die Form eines regulären Fünfecks an.

Verknoteter Papierstreifen

Polyeder mit regelmäßigen Fünfecken

Das Dodekaeder ist der einzige der platonischen Körper, der regelmäßige Fünfecke als Seitenflächen hat. Auch einige archimedische Körper enthalten regelmäßige Fünfecke, nämlich das Ikosidodekaeder, der Ikosaederstumpf, das Rhombenikosidodekaeder und das abgeschrägte Dodekaeder.

Vorkommen

Natur

Die Okra- als auch die Sternfrucht hat im Querschnitt die Form eines Fünfecks. Die Blüten der Prunkwinde sind ebenfalls fünfeckig ausgebildet. Auch Seesterne und Schlangensterne weisen eine fünfstrahlige Symmetrie auf. Viele cyclische Verbindungen enthalten eine Fünfringstruktur (etwa Cyclopentan, γ-Butyrolacton, Furan, Furanosen etc.).

Okrafrüchte
Aufgeschnittene Sternfrucht

Architektur und Festungsbau

Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat häufig die Form eines Fünfecks. So sind regelmäßige Fünfecke die vollständig wieder aufgebaute Festung Bourtange in den Niederlanden sowie Nyenschanz (heute in St. Petersburg), die Zitadelle von Jaca, die Zitadelle von Pamplona, die Festung Dömitz, die Zitadelle von Turin, die Zitadelle von ’s-Hertogenbosch, die Zitadelle von Straßburg, die Zitadelle von Amiens, die 1598 abgebrochene Zitadelle von Vitry-le-François von Girolamo Marini, die verschwundene Zitadelle von Antwerpen, die Zitadelle von Doullens (Picardie, nur in Teilen auf regelmäßigem Grundriss), die Zitadelle von Lille, das Harburger Schloss, die Zitadelle Vechta, die Zitadelle von Münster, das Fort Nieuw-Amsterdam, das Kastell von Kopenhagen, Tilbury Fort in Essex östlich von London, die Festung auf der Insel Poel in Mecklenburg, die Höhenfestung Wülzburg bei Weißenburg in Bayern und die Festung Goryōkaku in Japan. Die Stadt Sathmar im heutigen Rumänien besaß eine fünfeckige Festung.

Den Typ des befestigten Palasts (Palazzo in fortezza) auf regelmäßig fünfeckigem Grundriss verkörpern die Villa Farnese in Caprarola (Provinz Viterbo, Italien), die Schlösser Krzyżtopór und Nowy Wiśnicz sowie die Befestigungen von Schloss Łańcut in Polen.

Der Hauptsitz des Verteidigungsministeriums der Vereinigten Staaten in Washington, D.C. wird wegen seines Grundrisses in Form des regelmäßigen Fünfecks Pentagon genannt.

Ein Fünfeck liegt Kirchengebäuden wie der Corvinuskirche in Hannover, der Dietrich-Bonhoeffer-Kirche (Köln-Lindenthal), der Wallfahrtskirche Zelená Hora in der Tschechischen Republik oder der Kirche St. Michael in Detmold (Westfalen) zugrunde.

Auf fünfeckigem Querschnitt sind Turmbauten wie der stählerne Verkehrsturm am Potsdamer Platz, der ehemalige Marinesignalturm Kiel oder der aus Holz gefertigte Aussichtsturm auf der Hohenmirsberger Platte errichtet.

Der Fünfeckige Stein ist ein Grenzstein in Niederösterreich.

Kunst

Kupferstich von Jacques Ozanam, 1699
Fünfeck umschließt gegebenes Dreieck

Jacques Ozanam fertigte im Jahr 1699 einen Kupferstich an, in dem er u. a. die Konstruktion eines Fünfeck zeigt, das ein gegebenes gleichseitiges Dreieck umschließt.

Ozanams Ansatz zur Konstruktion des Fünfecks

Der halbe Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt . Subtrahiert man von diesem den halben Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks, ergibt sich der Winkel zwischen dem Schenkel des Dreiecks und der Seite des Fünfecks.

Die Winkel , und haben den gemeinsamen Teiler . Dies bedeutet, der halbe Innenwinkel des Fünfecks setzt sich aus gleichen Teilen zu je zusammen. Daraus folgt: Auf den halben Innenwinkel des Dreiecks entfallen bzw. auf den Winkel zwischen dem Schenkel des Dreiecks und der Seite des Fünfecks entfallen solcher Teile.

Vorgehensweise

Ausgehend vom gleichseitigen Dreieck , zeichnet man zuerst dessen Höhe ein und schlägt anschließend einen Kreisbogen um den Punkt mit einem Radius etwas kleiner, als die halbe Höhe ; die Schnittpunkte sind , (Teilungspunkt ) und . Es folgt die Konstruktion des Teilungspunktes für den Winkel . Das Konstruktionsprinzip des Winkels eines Fünfecks, ist auch in Dreiteilung des Winkels, Klassisches Problem (Bild) dargestellt. Die Teilungspunkte und sind für die Lösung nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Verdeutlichung. Nach dem Eintragen des Teilungspunktes mithilfe des Kreisbogens , wird ein Kreisbogen um mit Radius gezogen bis sich beide Kreisbögen in schneiden; dabei ergibt sich der Winkel . Nun wird der Punkt mithilfe der Sehne ab markiert.

Es geht weiter mit einem Kreisbogen um mit Radius ; Schnittpunkt ist . Das Übertragen des Winkels mithilfe der Sehne auf den Kreisbogen um ab schließt sich an; Schnittpunkt ist . Eine Halbgerade ab durch und eine zweite ab durch schneiden sich im Eckpunkt des entstehenden Fünfecks. Auf die gleiche Art und Weise – spiegelbildlich zur Höhe – ergibt sich der Eckpunkt . Mithilfe der Mittelsenkrechten der Strecke erhält man den Mittelpunkt des Umkreises für das Fünfeck. Nach dem Ziehen des Umkreises werden die Strecken und bis zum Umkreis verlängert; dabei werden die beiden letzten Eckpunkte bzw. des Fünfecks generiert. Die abschließende Verbindung des Eckpunktes mit vollendet das gesuchte Fünfeck.

Siehe auch

Weblinks

Commons: Regular pentagons – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Commons: Fünfeck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Fünfeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikibooks: Beweisarchiv: Fünfeck – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

  1. C. Stanley Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie. Kapitel 9: Der Goldene Schnitt – 9.1 Das Pentagramm. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1984, ISBN 3-528-28314-9, S. 76–77, doi:10.1007/978-3-663-00104-1_10.

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knot of a paperstrip
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Dieses Bild zeigt ein Objekt, das im National Register of Historic Places der Vereinigten Staaten verzeichnet ist. Die Referenznummer lautet 89000932.

Satellite image of the Pentagon. The reconstruction of the section damaged in the September 11 terrorist attacks is visible on the building's west (left) side; the diagonal line is a construction crane.
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Jede Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu jeder seiner beiden benachbarten Diagonalen.
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Die Diagonalen teilen sich untereinander im goldenen Verhältnis.
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Fünfeck mit dessen Größen
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Fünfeck umschließt gegebenes Dreieck, nach einem Kupfer stich von Jacques Ozanam im Jahr 1699
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Pentagramm. Farbig eingezeichnet sind 3 Streckenpaare, die im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. Die markierten Punkte und die Hilfslinie CC' werden für den Beweis benötigt, dass der Goldene Schnitt vorliegt.
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Konstruktion eines Fünfecks, Seite gegeben. Wie in der Konstruktion mit gegebenem Umkreis, ist auch hier der Goldener Schnitt, äußere Teilung der maßgebende Baustein!  
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Plan Krzyżtoporu
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Grundriss der Festung Poel

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