Stöchiometrie

Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite der Redaktion Chemie eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Chemie formal und inhaltlich auf ein in der Wikipedia gewünschtes Niveau zu bringen. Wir sind dankbar für deine Mithilfe, bitte beteilige dich an der Diskussion (neuer Eintrag) oder überarbeite den Artikel entsprechend.

Die Stöchiometrie (von gr. στοιχεῖον stoicheion „Grundstoff“ und μέτρον metron „Maß“) ist ein grundlegendes mathematisches Hilfsmittel in der Chemie. Mit ihrer Hilfe werden entsprechend der Reaktionsgleichung die beteiligten Stoffmengen und Mengenverhältnisse der Reaktanten und erhaltbaren Stoffmengen der Produkte einer chemischen Reaktion ermittelt. In der chemischen Umgangssprache (siehe dazu auch Laborjargon) bezeichnet Stöchiometrie nicht die (meist triviale) Berechnung, sondern deren Ergebnis.

Praktisch werden Reaktionen im Labor häufig „unstöchiometrisch“ durchgeführt: Mindestens ein Reaktant wird im Überschuss eingesetzt und wird folglich nicht vollständig umgesetzt. Beispielsweise um teure Grundstoffe mit Sicherheit vollständig umzusetzen (wird ein preisgünstigerer Reaktant im Überschuss zugesetzt) oder um ein chemisches Gleichgewicht zu beeinflussen (siehe dazu Chemisches Gleichgewicht#Gleichgewichtslage und Prinzip vom kleinsten Zwang#Stoffmengenänderung).

Grundlagen

Die Berechnungsgrundlagen der modernen Stöchiometrie basieren (auch historisch betrachtet) auf folgenden Gesetzen:

• Gesetz der konstanten Proportionen
• Gesetz der multiplen Proportionen
• Massenerhaltungssatz

Die Regeln der Stöchiometrie leiten sich also aus dem Wissen über den Aufbau der Materie aus Atomen und Molekülen her.

Begriffe und Allgemeines

Reaktionsgleichungen

In Reaktionsgleichungen wird zumeist die Summenformel für Moleküle oder Salze angegeben, um die Molekül- und Atomverhältnisse darzustellen (mit Strukturformeln wird versucht den räumlichen Molekülaufbau aufzuzeigen, Verhältnisformeln benennen Stoffmengenquotienten).

Beispiel: ${\displaystyle \mathrm {2\ H_{3}PO_{4}+3\ Ca(OH)_{2}\rightleftharpoons 1\ Ca_{3}(PO_{4})_{2}+6\ H_{2}O} }$

Die tiefgestellten Ziffern in Summenformeln benennen als Index (Mehrzahl Indices) die in der Verbindung (Molekül) enthaltene relative Atommenge/Stoffmenge.

Mitunter findet man auch Laufzahlen als fortlaufende Benennung von Reaktionsteilnehmern (Substanzen einer Reaktionsgleichung) ebenfalls mit einem tiefgestellten Index (beispielsweise C_nH_2n+2 mit „n“ als Laufzahl).

Das Reaktion von Calciumhydroxid und Phosphorsäure zu Calciumphosphat und Wasser ist wie jede chemische Reaktion eine Gleichgewichtsreaktion. Auf beiden Seiten des Gleichgewichts liegt die gleiche Anzahl an Atomen oder Ionen vor. Die zugehörige Reaktionsgleichung kann auf 4 gleichwertige Arten dargestellt werden:

${\displaystyle \mathrm {2\ H_{3}PO_{4}+3\ Ca(OH)_{2}\rightleftharpoons 1\ Ca_{3}(PO_{4})_{2}+6\ H_{2}O} }$

${\displaystyle \mathrm {1\ H_{3}PO_{4}+{\frac {3}{2}}\ Ca(OH)_{2}\rightleftharpoons {\frac {1}{2}}\ Ca_{3}(PO_{4})_{2}+3\ H_{2}O} }$

${\displaystyle \mathrm {{\frac {2}{3}}\ H_{3}PO_{4}+1\ Ca(OH)_{2}\rightleftharpoons {\frac {1}{3}}\ Ca_{3}(PO_{4})_{2}+2\ H_{2}O} }$

${\displaystyle \mathrm {{\frac {1}{3}}\ H_{3}PO_{4}+{\frac {1}{2}}\ Ca(OH)_{2}\rightleftharpoons {\frac {1}{6}}\ Ca_{3}(PO_{4})_{2}+1\ H_{2}O} }$

Die erste Gleichungsform wird bevorzugt, weil sie nur ganzzahlige stöchiometrische Koeffizienten aufweist, sie wird auch als Kardinalgleichung betitelt.

Hinweis: das Calciumion ist zweiwertig positiv. Das Phosphation ist dreiwertig negativ. Das kleinste gemeinsame Vielfache (KgV) der Ladungen dieser Ionen im Calciumphosphat ist daher 6, drei Calciumionen binden daher zwei Phosphationen.

Stöchiometrische Koeffizienten ν der Reaktionsteilnehmer

In jeder chemischen Gleichung (Reaktionsgleichung) steht vor der Summenformel eines jeden Reaktionsteilnehmers eine zugehörige Zahl/Ziffer. Ist diese 1 so wird sie üblicherweise weggelassen. Man ist bemüht hier ganze Natürliche Zahlen stehen zu haben. Sind hier Brüche vorhanden, versucht man alle Koeffizienten so zu vergrößern mit einem geeigneten Multiplikationsfaktor, dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden.

Grundsätzlich sind die stöchiometrischen Koeffizienten aller Reaktionsteilnehmer positive Zahlen/Ziffern in einer Reaktionsgleichung, da sie Stoffmengenverhältnisse wiedergeben sollen. Jedoch werden die stöchiometrischen Koeffizienten von Ausgangsstoffen (Edukten) per Festlegung als negativ gewertet bei ihrer Anwendung in der Chemischen Kinetik. Dazu siehe man das folgende Kapitel Umsatzvariable und die Definition der Reaktionsgeschwindigkeit (Chemie). Reaktionsgeschwindigkeit r und Umsatzvariable ξ haben definitionsgemäß immer positive Zahlenwerte. Bei den abnehmenden Stoffmengen der Ausgangsstoffe erreicht man positive Ergebnisse durch Division durch negative stöchiometrische Koeffizienten der Ausgangsstoffe (deren Koeffizienten, die eigentlich positiv sind, wurden einfach als negativ definiert !). Bei den Produkten besteht dieses Problem gar nicht erst. Die Stoffmengenänderung ist bei Produkten positiv. Sie werden gebildet.

Stoffmengenverhältnisse und tatsächlich umgesetzte Stoffmengen

Jede chemische Reaktionsgleichung trifft mit den vor den Summenformeln, Elementen-Symbol oder Ionen-Symbol genannten Ziffern/Zahlen (den stöchiometrischen Koeffizienten dieser Reaktionsteilnehmer) immer nur eine Aussage, in welchem Stoffmengenverhältnis die Substanzen miteinander stehen bei deren Umsetzung (Verbrauch oder Bildung) in der Reaktion. Bei einer einfachen Hinreaktion (unabhängige Reaktion) reagieren nur die Ausgangsstoffe miteinander. Nur wenn die Stoffmenge oder Stoffmengenkonzentration aller Ausgangsstoffe abnimmt, werden Produkte gebildet, deren Stoffmenge oder Stoffmengenkonzentration dann zunimmt.

In welchem Stoffmengenverhältnis die einzelnen Reaktionsteilnehmer stehen, ist bereits durch deren stöchiometrische Koeffizienten aus der Reaktionsgleichung vorgegeben und wird in der Definitionsgleichung der Umsatzvariable somit benannt:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {\Delta n_{A}(t)}{\nu _{A}}}={\frac {\Delta n_{B}(t)}{\nu _{B}}}={\frac {\Delta n_{C}(t)}{\nu _{C}}}={\frac {\Delta n_{D}(t)}{\nu _{D}}}}$

bzw.

${\displaystyle {\frac {\Delta \xi _{j}}{\Delta t}}={\frac {1}{\nu _{A}}}{\frac {\Delta n_{A}}{\Delta t}}={\frac {1}{\nu _{B}}}{\frac {\Delta n_{B}}{\Delta t}}={\frac {1}{\nu _{C}}}{\frac {\Delta n_{C}}{\Delta t}}={\frac {1}{\nu _{D}}}{\frac {\Delta n_{D}}{\Delta t}}}$

Diese Gleichung kann auch als Differential geschrieben werden, um sie beispielsweise für das Strömungsrohr (Rohrreaktor, ein kontinuierlicher Reaktortyp) anwenden zu können.

Die an der unabhängigen Einzelreaktion j beteiligten Stoffe A, B, C und D (Beispiel) stehen also in festen Stoffmengenverhältnissen zueinander:

1) ${\displaystyle {\frac {n_{B}}{n_{A}}}={\frac {\nu _{A}}{\nu _{B}}}}$

2) ${\displaystyle {\frac {n_{C}}{n_{A}}}={\frac {\nu _{A}}{\nu _{C}}}}$

3) ${\displaystyle {\frac {n_{D}}{n_{A}}}={\frac {\nu _{A}}{\nu _{D}}}}$

4) ${\displaystyle {\frac {n_{B}}{n_{C}}}={\frac {\nu _{C}}{\nu _{B}}}}$

5) ${\displaystyle {\frac {n_{B}}{n_{D}}}={\frac {\nu _{D}}{\nu _{B}}}}$

6) ${\displaystyle {\frac {n_{C}}{n_{D}}}={\frac {\nu _{D}}{\nu _{C}}}}$

Dies gilt gleichermaßen für Stoffmengen oder Stoffmengenströme (Molenströme). Alle genannten Verhältnisgleichungen sind bereits durch die eine Definitionsgleichung der Umsatzvariable beschrieben. Die Anzahl an notwendigen Verhältnisgleichungen ist durch Regeln der Kombinatorik festzustellen. Im Falle des Beispiels (Stoffe A, B, C, D) sind es sechs Gleichungen. Denn es gilt hier offenbar (4²-4)/2=6. Kombinationen der vier Stoffe mit sich selbst scheiden aus, also vier Kombinationen weniger. Von den ursprünglich 4x4=16 Kombinationen werden diese 4 abgezogen. Von den übriggebliebenen 12 Kombinationen zählt nur die Hälfte, da „AB“ umrechenbar ist zu „BA“ durch Kehrwertbildung.

In den sechs Gleichungen sind die stöchiometrischen Koeffizienten auch für Ausgangsstoffe als positive Werte einzusetzen. Es gibt ja keine negativen Stoffmengen. Dies ist aber eine Definitionsfrage. In der Definitionsgleichung der Umsatzvariable sind die stöchiometrischen Koeffizienten der Ausgangsstoffe (Edukte) definitionsgemäß negativ einzusetzen.

Da eine Reaktionsgleichung mit vier Reaktionsteilnehmern A, B, C und D auch vier stöchiometrische Koeffizienten hat gäbe es schon mal bis zu vier gleichwertige Versionen dieser Gleichung, denn die Gleichung (bzw. deren stöchiometrische Koeffizienten) kann beidseitig mit dem gleichen Faktor f multipliziert werden, ohne die Aussage der Reaktionsgleichung zu verändern. Dabei wählt man f so aus, dass mindestens einer der vier Koeffizienten zu 1 wird. Sind nicht mehrere gleichzeitig 1, so gäbe es schon mal vier gleichwertige Reaktionsgleichungen. Der Koeffizient 1 würde einmal vor A, einmal vor B, oder eben vor C oder D stehen. Da der Multiplikationsfaktor f aber unendlich viele Werte (positiver Zahlen) haben kann gibt es hypothetisch unendlich viele gleichwertige Reaktionsgleichungen.

Keine der (unendlich vielen) möglichen Gleichungsversionen trifft eine Aussage darüber welche (absolute) Stoffmenge n beispielsweise vom Stoff A umzusetzen ist.

Ist der stöchiometrische Koeffizient eines Stoffes 1 so könnte man dies zum besseren Verständnis als 1 Mol Stoffmengeneinsatz betrachten. Die Substanz mit einem Koeffizienten 3 davor hätte dann 3 Mol die davon gebildet würden oder verbraucht würden (Produkt oder Ausgangsstoff) zu erwarten. Genauso gut könnte man aber nur 1 Millimol für die erste Substanz (Koeffizient: 1) einsetzen und es würden dann nur 3 Millimol von der zweiten Substanz (Koeffizient: 3) gebildet oder verbraucht.

Stöchiometrische Bilanz

Bei den stöchiometrischen Rechnungen geht es darum, die Menge an Ausgangsstoff(en) (Reaktanten) zu berechnen, die bei einer chemischen Reaktion eingesetzt werden muss. Die Berechnung lässt sich umkehren, so dass man bei Kenntnis der Menge an Reaktant(en) die Menge an Produkt(en) bestimmen kann.

Um jede beliebige Reaktion bilanzieren zu können, wird zu einer allgemeineren Symbolschreibweise übergegangen. Für eine einfache chemische Reaktion lautet sie beispielsweise:

${\displaystyle \left|\nu _{1}\right|A_{1}+\left|\nu _{2}\right|A_{2}=\left|\nu _{3}\right|A_{3}+\left|\nu _{4}\right|A_{4}}$

wobei ${\displaystyle \nu _{i}}$ die stöchiometrischen Verhältniszahlen (auch stöchiometrische Koeffizienten genannt) sind, für die in der deutschen Norm DIN 32642 „Symbolische Beschreibung chemischer Reaktionen“ auch die Bezeichnung „stöchiometrische Zahl“ empfohlen wird.

Da sich für eine Reaktion unterschiedliche Reaktionsgleichungen aufstellen lassen

${\displaystyle \mathrm {\ CO+{\tfrac {1}{2}}\ O_{2}\longrightarrow \ CO_{2}} }$   oder   ${\displaystyle \mathrm {\ 2\ CO+\ O_{2}\longrightarrow \ 2\ CO_{2}} }$,

müssen vor der Bilanzierung die stöchiometrischen Verhältniszahlen festgelegt werden. Dabei gilt:

• Als Bezug wird stets die Reaktionsgleichung mit den kleinsten ganzen Zahlen als Verhältniszahlen gewählt.
• Reaktanten bekommen immer eine negative stöchiometrische Verhältniszahl.
• Produkte bekommen immer eine positive stöchiometrische Verhältniszahl.
• Begleitstoffe, die selbst nicht an der Reaktion teilnehmen (z. B. Katalysatoren), bekommen die stöchiometrische Verhältniszahl 0.

Bei der Reaktion verändern sich die Stoffmengen der Reaktanten in dem Maße, wie die stöchiometrischen Verhältniszahlen es vorgeben. Die stöchiometrische Bilanz für die Reaktanten i und k ergibt sich als:

${\displaystyle {n_{i,0}-n_{i} \over -\nu _{i}}={n_{k,0}-n_{k} \over -\nu _{k}}}$

Darin sind die Stoffmengen mit null im Index vorher vorhanden, die ohne null die übrig gebliebenen Stoffmengen. Die Gleichung ist so formuliert, dass Zähler und Nenner positiv sind. Manche Autoren schreiben den Nenner auch mit Betragsstrichen.

Durch einfache Umformung erhält man für den diskontinuierlichen Prozess, genannt Satzbetrieb

${\displaystyle {n_{i,0}-n_{i} \over n_{k,0}-n_{k}}={\nu _{i} \over \nu _{k}}}$

und entsprechend für den kontinuierlichen Prozess, genannt Fließbetrieb

${\displaystyle {{\dot {n}}_{i,0}-{\dot {n}}_{i} \over {\dot {n}}_{k,0}-{\dot {n}}_{k}}={\nu _{i} \over \nu _{k}}}$

mit: ${\displaystyle {\dot {n}}={dn \over dt}}$

„Stöchiometrisches Produkt“

In chemischen Rechnungen und insbesondere in der Chemischen Kinetik nennt man den Term

${\displaystyle \prod _{i}(c_{i}^{\nu _{i}})}$

„stöchiometrisches Produkt“. Es wird primär im Zusammenhang mit der Reaktionsgeschwindigkeit r angewendet. Die Stoffmengenkonzentrationen c sind jeweils mit ihren stöchiometrischen Koeffizienten ${\displaystyle \nu }$ potenziert für jeden Stoff i ^[1]. So viele Ausgangsstoffe es in einer unabhängigen Reaktion (Hinreaktion) gibt aus so vielen Faktoren (Potenzen) besteht das Produkt maximal.

„Stöchiometrische Summe“

In chemischen Berechnungen und der Chemischen Kinetik wird der Term

${\displaystyle \sum _{i}(\nu _{i}\cdot c_{i})}$

als „stöchiometrische Summe“ betitelt. Also die Summe der Produkte von stöchiometrischem Koeffizienten mit der zugehörigen Stoffmengenkonzentration c für alle Stoffe (oder Ionen) i ^[2].

Für Berechnungen nötige Naturkonstanten und Stoffkonstanten

• Allgemeine Gaskonstante, wird für Umrechnungen an sich ideal verhaltenden Gasvolumina benötigt, wenn sich Druck, Volumen oder Temperatur ändern. Siehe auch Idealgasgleichung.
• Atomare Masseneinheit, ungefähre Masse eines einzelnen Atoms
• Avogadro-Zahl, sie sagt aus wie viele Teilchen (Atome oder Moleküle) in einem Mol einer Substanz enthalten sind, egal was für eine chemische Substanz dies ist. Ein Mol Aluminium enthält dementsprechend genauso viele Teilchen wie ein Mol atomarer Stickstoff N oder wie ein halbes Mol molekularer Stickstoff N₂ (der aus zwei Stickstoffatomen besteht). Siehe auch: Teilchenzahl.
• Elektrochemisches Äquivalent, diese Stoffkonstante bestimmt, wie viele Gramm einer Substanz i von einer Ladungsmenge von 1 Amperestunde abgeschieden wird bei der Elektrolyse
• Elementarladung, Naturkonstante, ihr Produkt mit der Avogadrozahl ist die Faraday-Konstante, benötigt in der Elektrochemie
• Faraday-Konstante, Naturkonstante, die aussagt welche Ladungsmenge man benötigt, um ein Mol einwertige Ionen (z=1) elektrochemisch abzuscheiden
• Molares Volumen. Fast alle Gase benötigen bei 0[°C] und Standard-Luftdruck das gleiche Volumen pro Mol Stoffmenge, nämlich 22,4 Liter.
• Molekülmasse

Stoffmenge n, Teilchen(an)zahl (Atome, Einzelatome) N und Avogadrozahl N_A

Die tatsächliche Teilchenzahl N ist der Stoffmenge n direkt proportional ^[3]:

${\displaystyle N=N_{A}\cdot n}$

Dies gilt für alle vorliegenden Stoffmengen verschiedenster Stoffe, für Gase, Flüssigkeiten und Feststoffe.

N_A ist die Avogadrozahl, eine Naturkonstante. Ein Mol Aluminium enthält beispielsweise daher genausoviele Teilchen wie ein Mol atomarer Stickstoff N (oder ein halbes Mol molekularer Stickstoff N₂, dessen Molekül aus je zwei Atomen besteht). Teilchen in diesem Sinne sind hier einzelne Atome.

Ein Mol Aluminium oder auch ein Mol atomarer Stickstoff (N) enthalten also so viele Teilchen (Einzelatome) wie die Avogadrozahl aussagt. Und dies würde auch auf ein Mol Stoffmenge eines beliebigen anderen (atomaren, monomolekularen) Stoffes zutreffen.

Gleichwertige Stoffmengen n von atomaren und molekularen Stoffen

Hier soll zum Verständnis ein Beispiel gegeben werden. Elementarer Schwefel liegt je nach Bedingungen (Temperatur) niemals atomar vor, also in einzelnen Atomen. Die Atome verbinden sich zu Ringen mit verschiedener Atomanzahl oder zu Atomketten. Bei Raumtemperatur liegt ringförmiger Schwefel aus je 8 Atomen vor.

${\displaystyle \mathrm {8\ S_{1}\longrightarrow 1\ S_{8}} }$ oder vereinfacht: ${\displaystyle \mathrm {8\ S\longrightarrow S_{8}} }$

In genannter Reaktionsgleichung wurde die Tiefzahl (Index) des atomaren Schwefels (links) hier zum besseren Verständnis mit 1 benannt (jedes Atom ist singulär vorliegend). Rechts in der Gleichung ist der (thermodynamisch bei Raumtemperatur stabile) oktogonale Schwefel S₈, der aus je 8 Schwefelatomen besteht, wie seine Tiefzahl (8) aussagt. Vor dem Symbol des oktogonalen Schwefels haben wir dessen stöchiometrischen Koeffizienten mit 1 zum besseren Verständnis ausgeschrieben. Tiefzahlen und stöchiometrische Koeffizienten, die 1 sind, werden üblicherweise in Reaktionsgleichungen nicht genannt. Man lässt sie weg. Es ist aber auch nicht falsch sie als „1“ zu nennen.

Wie zu sehen ist, ist der stöchiometrische Koeffizient des atomaren Schwefels 8. Diese 8 steht links vom Schwefelsymbol S, das wir mit S₁ benannt haben. Dies bedeutet das acht Atome Schwefel ein einzelnes Molekül oktogonalen ringförmigen Schwefels bilden. Würden wir (angenommenerweise, als Hypothese) 8 Mol Stoffmenge atomaren Schwefel umwandeln in oktogonalen ringförmigen, würde demnach nur ein Mol Stoffmenge oktogonaler Schwefel entstehen.

Die absolute Stoffmenge für dieses Beispiel haben wir völlig willkürlich auf 8 Mol atomaren Schwefel festgelegt. Die stöchiometrischen Koeffizienten geben ja nur ein Stoffmengenverhältnis wieder.

In Berechnungen wäre dann noch zu berücksichtigen, dass der oktogonale Schwefel eine 8 mal größere Molare Masse M hätte, als der atomare Schwefel. In der Praxis rechnet man aber mit atomarem Schwefel und setzt dessen Molmasse aus Tafelwerken oder dem Periodensystem der Elemente an, obwohl es den atomaren Schwefel bei Raumtemperatur nicht gibt.

Die Gase Wasserstoff, Sauerstoff, Stickstoff, Fluor und Chlor, sowie die Flüssigkeit Brom und der Feststoff Jod liegen bei üblichen Bedingungen auch als Moleküle vor, mit je zwei Atomen darin. Diese Gasmoleküle, Flüssigkeitsmoleküle und Feststoffmoleküle haben daher jeweils die doppelte Molare Masse ihrer Atome. Die atomaren Gase H, O, N etc. sind energiereicher als deren Moleküle und daher thermodynamisch instabil.

Der Atommenge der Avogadrozahl ist ein Mol Stoffmenge atomaren Schwefels S zugehörig, aber nur ein Achtel Mol Stoffmenge des oktogonalen Schwefels S₈ entsprechend ^[4].

Dies entspricht der umgestellten Reaktionsgleichung:

${\displaystyle \mathrm {1\ S\longrightarrow {\frac {1}{8}}\ S_{8}} }$

Sie ist in ihrer Aussage völlig identisch der oben genannten Reaktionsgleichung. Ein Mol atomarer Schwefel und ein Achtel Mol oktogonaler Schwefel, haben die gleiche Masse m, nämlich 32,06 Gramm, wie die Molare Masse des atomaren Schwefels aussagt. Es gilt hier der Massenerhaltungssatz, da bei der Umwandlungsreaktion nichts verlorengeht. Die Molare Masse des oktogonalen Schwefels ist also 256,48 Gramm pro Mol.

Stoffspezifische Kennwerte (Materialkonstanten)

Jede chemische Reinsubstanz i ist durch mehrere Kennwerte von anderen Reinsubstanzen zu unterscheiden. Dazu zählen zum Beispiel Molare Masse, Molares Volumen, (massen-)spezifisches Volumen und Dichte (Massendichte).

Für Gemische von Reinsubstanzen können solche Größen auch bestimmt werden durch Messung oder Berechnung.

Molare Masse M (Proportionalität zwischen Masse m und Stoffmenge n)

Die Proportionalität zwischen der Masse m einer vorliegenden Menge einer chemisch reinen Substanz i und der zugehörigen Stoffmenge n dieser Substanz ist durch die Definition der Molaren Masse („Molmasse“) M gegeben^[5]:

${\displaystyle M_{i}={\frac {m_{i}}{n_{i}}}}$

Die Einheit der Molaren Masse ist somit Gramm pro Mol (oder auch gleichbedeutend mit Kilogramm pro Kilomol) per Definition. Da für jede bekannte Reinsubstanz die Molare Masse M aus Tafelwerken entnommen werden kann, oder für Verbindungen eventuell auch berechnet werden kann, ist die Umrechnung zwischen Masse und zugehöriger Stoffmenge der Substanz i ganz einfach:

${\displaystyle n_{i}={\frac {m_{i}}{M_{i}}}}$ bzw. ${\displaystyle m_{i}={n_{i}\cdot M_{i}}}$

Beide Gleichungen zeigen deutlich die Proportionalität zwischen Masse m und Stoffmenge n einer Substanz i. Proportionalitätsfaktor ist in rechter Gleichung die Molare Masse und in linker Gleichung ihr Kehrwert. Die Molare Masse ist eine Materialkonstante.

Dichte ϱ und Spezifisches Volumen v (Proportionalität zwischen Masse m und Volumen V)

Die Definionsgleichung der Dichte (Massendichte) lautet:

${\displaystyle \varrho ={\frac {m}{V}}}$

Hier sind ${\displaystyle \varrho }$ die Dichte, m die Masse und V das Volumen.

Somit gilt auch:

${\displaystyle m=\varrho \cdot V}$ und

${\displaystyle V={\frac {m}{\varrho }}}$

Dichte oder deren Kehrwert sind Proportionalitätsfaktor zwischen Masse und Volumen. Für Reinstoffe kann die Dichte aus Tabellenbüchern entnommen werden. Ansonsten ist noch ein Messen der Dichte – direkt bei Flüssigkeiten (z. B. mittels Aräometer) – und indirekt bei Feststoffen (durch Wiegen der Masse und Volumenbestimmung durch Wasserverdrängung) möglich.

Das (massenbezogene) Spezifische Volumen v ist der Kehrwert der Dichte:

${\displaystyle v={\frac {V}{m}}={\frac {1}{\varrho }}}$

Es wird in massenbezogenen Bilanzierungen angewendet. Insbesondere für Flüssigkeiten und Gase. Seine Einheit ist Kubikmeter pro Kilogramm oder Liter pro Kilogramm.

Molares Volumen V_m für Gase, Flüssigkeiten und Feststoffe (Proportionalität zwischen Volumen V und Stoffmenge n)

Generell ist das molare Volumen der Quotient von Volumen und Stoffmenge n ^[6]:

${\displaystyle V_{m}={\frac {V}{n}}}$

Die Stoffmenge n kann mittels Molarer Masse M gegen die Masse m substituiert werden. Denn es gilt ja nach der umgestellten Definition der Molaren Masse M ^[7] :

${\displaystyle n={\frac {m}{M}}}$

Das Volumen erhält man aus der umgestellten Definition der Dichte (Massendichte) ^[8] :

${\displaystyle V={\frac {m}{\varrho }}}$

Volumen und Stoffmenge werden nun in der Definitionsgleichung des molaren Volumens eingesetzt ^[9]:

${\displaystyle V_{m}={\frac {V}{n}}={\frac {m/\varrho }{m/M}}={\frac {M}{\varrho }}}$

Da die Dichte temperaturabhängig ist, gilt der berechnete Wert immer nur für eine Temperatur. Bei Gasen hängt die Dichte zusätzlich vom Druck ab und damit auch deren molares Volumen ^[10]. Die Molare Masse kann als Stoffkonstante aus Tafelwerken entnommen oder selbst berechnet werden.

Jeder chemische Reinstoff hat für eine Temperatur (und bei Gasen für einen Druck) ein eigenes molares Volumen.

Hinweise zur Bilanzierung von Gasreaktionen

Volumen V und (spezifisches) molares Volumen von Gasen (Idealgasgleichung)

Die (absoluten) Volumina V von Gasen werden in der Chemie und Verfahrenstechnik nach dem Modell vom Idealgas berechnet mit der sogenannten Idealgasgleichung^[11]:

${\displaystyle p\cdot V=n\cdot R\cdot T=m\cdot R_{s}\cdot T}$

Hier sind p der Druck, V das (absolute) Volumen, n die Stoffmenge des Gases, m die Masse des Gases, R die Allgemeine Gaskonstante (eine Naturkonstante), R_s die (massenspezifische, stoffspezifische) Gaskonstante (eines speziellen Gases) und T die auf den Absoluten Nullpunkt bezogene Temperatur, die Absolute Temperatur.

Nach umstellen obiger Gleichung berechnet sich das absolute Volumen einer Stoffmenge n bzw. Masse m eines Gases oder Dampfes zu:

${\displaystyle V={\frac {n\cdot R\cdot T}{p}}={\frac {m\cdot R_{s}\cdot T}{p}}}$

Teilt man in dieser Gleichung das Volumen (also die ganze Gleichung) durch die Stoffmenge n, so erhält man das molare Volumen V_m, eine Naturkonstante (für definierte Normbedingungen von Druck und Temperatur) ^[12]:

${\displaystyle V_{m}={\frac {V}{n}}={\frac {n\cdot R\cdot T}{n\cdot p}}={\frac {R\cdot T}{p}}={\frac {m\cdot R_{s}\cdot T}{n\cdot p}}={\frac {M\cdot R_{s}\cdot T}{p}}}$

Das molare Volumen hat für die meisten Gase Gültigkeit und besagt, dass ein Mol eines Gases ein Volumen von etwa 22,4 Liter pro Mol Stoffmenge bei 0 °C und Luftdruck (101325 Pa) einnimmt ^[13]. In der obigen Gleichung ist M die Molare Masse (Quotient von Masse und Stoffmenge).

Stoffmengenanteil x, Gesamtdruck p, Partialdruck p_i, Gesamtvolumen V und Partialvolumen V_i in Gasen

Liegt in einem Gasvolumen V (Gase oder Dämpfe) ein Gasgemisch vor, so beanspruchen die unterschiedlichen enthaltenen Gase (Stoffe) i jeweils ein Teilvolumen V_i und haben den Partialdruck p_i. Diese Volumenanteile oder Druckanteile eines enthaltenen Gases i sind dessen Stoffmengenanteil entsprechend ^[14]:

${\displaystyle x_{i}={\frac {n_{i}}{n_{ges}}}={\frac {c_{i}}{c_{ges}}}={\frac {V_{i}}{V_{ges}}}={\frac {p_{i}}{p_{ges}}}}$

Alle Teilvolumina summieren sich zum Gesamtvolumen. Alle Partialdrücke summieren sich zum Gesamtdruck. Alle Stoffmengen der einzelnen Stoffe summieren sich zur Gesamtstoffmenge. Alle Stoffmengenkonzentrationen summieren sich zur Summen-Stoffmengenkonzentration.

${\displaystyle n=n_{ges}=\sum _{i}n_{i}}$

${\displaystyle c=c_{ges}=\sum _{i}c_{i}}$

${\displaystyle V=V_{ges}=\sum _{i}V_{i}}$

${\displaystyle p=p_{ges}=\sum _{i}p_{i}}$

In der Chemischen Kinetik von Gasreaktionen wird die Stoffmengenkonzentration c eines Stoffes i üblicherweise durch dessen Partialdruck substituiert (ausgetauscht). Berechnungen der Chemischen Kinetik sind stöchiometrische Berechnungen. Das sogenannte „stöchiometrische Produkt“ in der Chemischen Kinetik, wird für Gasreaktionen anstelle der Stoffmengenkonzentration c_i des Stoffes (Gases) i ersatzweise dessen Partialdruck p_i enthalten.

Die Idealgasgleichung kann für sich ideal verhaltende Gasgemische (also bei geringen Drücken, auch bei Luftdruck) in verschiedenen Formen geschrieben und angewendet werden ^[15]:

${\displaystyle p_{ges}\cdot V_{ges}=n_{ges}\cdot R\cdot T}$

gleichwertig zu

${\displaystyle (\sum _{i}p_{i})\cdot (\sum _{i}V_{i})=(\sum _{i}n_{i})\cdot R\cdot T}$

oder eben auch für einen einzelnen Anteil (Stoff i):

${\displaystyle p_{i}\cdot V_{i}=n_{i}\cdot R\cdot T}$

In dieser Gleichung für Partialanteil i können p_i, V_i und n_i auch falls nötig durch die umgestellte Definitionsgleichung des Stoffmengenanteils x substituiert werden. So kann man den Summendruck, das Summenvolumen oder die Summenstoffmenge in die Gleichung für Anteil/Stoff i einführen.

Volumenänderung des Idealgases bei Änderung von Druck und/oder Temperatur

Setzt man zwei Idealgasgleichungen ins Verhältnis zueinander, so erhält man die Gleichung zu den Relationen von Volumen, Druck und absoluter Temperatur für die zwei Zustände 1 und 2:

${\displaystyle {\frac {p_{2}\cdot V_{2}}{p_{1}\cdot V_{1}}}={\frac {n\cdot R\cdot T_{2}}{n\cdot R\cdot T_{1}}}={\frac {T_{2}}{T_{1}}}}$

Stoffmenge n und Allgemeine Gaskonstante R kürzen sich weg. Es folgt die Relationsgleichung:

${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {T_{2}\cdot p_{1}}{T_{1}\cdot p_{2}}}}$

Das Volumen eines Idealgases ist der absoluten Temperatur T (in der Einheit Kelvin) direkt proportional, dem Druck p indirekt proportional.

Volumenänderung durch Stoffmengenänderung bei reinen Gasreaktionen

Die stöchiometrischen Koeffizienten in einer Reaktion an der nur Gase (oder Dämpfe) teilnehmen, treffen in ihrer Summation und Relation eine Aussage über die Änderung oder das Gleichbleiben des Volumens (bei gleichem Druck) oder über die Änderung des Druckes bei konstantem Reaktorvolumen. Alles isotherm angenommen, also ohne Berücksichtigung tatsächlicher Temperaturänderungen.

Beispiele

• Keine Volumenänderung (Quotient 2:2):

${\displaystyle \mathrm {1\ CO} +\mathrm {1\ H_{2}O} \rightleftharpoons \mathrm {1\ CO_{2}} +\mathrm {1\ H_{2}} }$

Gleichgewichtsreaktion zwischen Kohlenmonoxid (mit Wasserdampf) und Kohlendioxid; und ebenso bei Reaktion

${\displaystyle \mathrm {1\ H_{2}+1\ Cl_{2}\rightarrow 2\;HCl} }$

Reaktion von Chlor mit Wasserstoff zu Chlorwasserstoff

• Volumenverdopplung, (Quotient 2:4):

${\displaystyle \mathrm {1\ CH_{4}} +\mathrm {1\ H_{2}O} \rightleftharpoons \mathrm {1\ CO} +3\ \mathrm {H_{2}} }$

Gleichgewichtsreaktion zwischen Methan (und Wasserdampf) zu Kohlenmonoxid (und Wasserstoff)

• Volumenhalbierung (Quotient 2:1):

${\displaystyle {\ce {2 NO2 <=> 1 N2O4}}}$ Gleichgewichtsreaktion zwischen Stickstoffdioxid und Distickstofftetroxid

• Volumenabnahme (Quotient 3:2):

${\displaystyle \mathrm {2\ H_{2}+1\ O_{2}\longrightarrow 2\ H_{2}O} }$

Verbrennung von Wasserstoff und Sauerstoff zu Wasser(dampf)

• Volumenzunahme im Verhältnis (n+1):(3n+1) entsprechend auch 1:3:

${\displaystyle \mathrm {1\ C} _{n}\mathrm {H} _{2n+2}+n\;\mathrm {H_{2}O} \rightleftharpoons n\;\mathrm {CO} +(2n+1)\;\mathrm {H_{2}} .}$

Gleichgewichts-Wassergas-Reaktion eines Kohlenwasserstoffes

Für die genannten Gleichgewichtsreaktionen haben wir einfach angenommen, dass sie nur hinzu (also nach rechts) ablaufen. Das Wasser (H₂O) und der Kohlenwasserstoff liegt bei den Reaktionsbedingungen jeweils als Dampf vor. Da alle Gase nahezu das gleiche molare Volumen V_m haben, nämlich 22,4 [Liter pro Mol] bei 0 °C und 101325 Pascal Druck, sind die stöchiometrischen Koeffizienten von Gasen deren Volumen proportional, da die Koeffizienten die absolute oder relative Stoffmenge n abbilden.

Für das absolute Volumen (Summenvolumen aller Gase/Stoffe i) gilt:

${\displaystyle V=V_{m}\cdot \sum _{i}n_{i}}$

Die relative Volumenänderung berechnet sich also für vollständig ablaufende Hinreaktionen zu:

${\displaystyle {\frac {\text{Volumen vor der Reaktion}}{\text{Volumen nach der Reaktion}}}={\frac {\sum V_{Ausgangsstoffe}}{\sum V_{Produkte}}}={\frac {V_{m}\cdot \sum n_{Ausgangsstoffe}}{V_{m}\cdot \sum n_{Produkte}}}={\frac {\sum \nu _{Ausgangsstoffe}}{\sum \nu _{Produkte}}}}$

Volumenänderung bei Verbrennung gasförmiger Kohlenwasserstoffe (Beispiele)

• gleichbleibendes Volumen (Quotient 3:3):

${\displaystyle \mathrm {1\ CH_{4}+2\,O_{2}\rightarrow 1\ CO_{2}+2\,H_{2}O} }$

Verbrennung von Methangas

• Volumenzunahme (Quotient 9:10):

${\displaystyle \mathrm {2\ C_{2}H_{6}+7\ O_{2}\longrightarrow 4\ CO_{2}+6\ H_{2}O} }$

Verbrennung von Ethangas

• Volumenzunahme (Quotient 6:7)

${\displaystyle \mathrm {1\ C_{3}H_{8}+5\ O_{2}\longrightarrow 3\ CO_{2}+4\ H_{2}O} }$

Verbrennung von Propangas

• Volumenzunahme (Quotient 15:18):

${\displaystyle \mathrm {2\ C_{4}H_{10}+13\ O_{2}\longrightarrow 8\ CO_{2}+10\ H_{2}O} }$

Verbrennung von Butangas

Es ist auch möglich eine universelle Verbrennungsgleichung für vollständige Verbrennung von Kohlenwasserstoffen aufzustellen:

${\displaystyle \mathrm {4\ C_{n}H_{m}+(4n+m)\ O_{2}\longrightarrow (4n)\ CO_{2}+(2m)\ H_{2}O} }$

Darin gilt für Alkane m=(2n+2). Für Alkene gilt: m=2n. Für Alkine gilt: m=(2n-2).

Nach dieser Reaktionsgleichung ist das (isobare und isotherme) Volumenverhältnis bei Verbrennung von Kohlenwasserstoffen gegeben als:

${\displaystyle {\frac {\sum V_{Ausgangsstoffe}}{\sum V_{Produkte}}}={\frac {4n+m+4}{4n+2m}}}$

Beim Einsetzen von n=1 und m=4 für Methan erhält man eine der gleichwertigen Reaktionsgleichungen für Methanverbrennung. Die optimale Gleichung hierfür erhält man beim dividieren der erhaltenen Gleichung durch die Zahl 4.

Die (angenommenen) vollständigen Verbrennungen von Äthin und Benzol liefern die Volumenverhältnisse (Stoffmengenverhältnisse) 4:4 für Äthin und 17:18 für Benzol.

Das immer entstehende Wasser soll generell als Dampf, also gasförmig vorliegen. Nur dafür gilt die Betrachtung. Die genannten Volumenänderungen sind isobar und isotherm erfolgt durch Stoffmengenänderung. Selbstverständlich muss der Kohlenwasserstoff gasförmig vorliegen.

Molare Masse eines Gasgemisches (Mittlere Molare Masse)

Die mittlere Molare Masse eines Gasgemisches (oder sonstigen Stoffgemisches) setzt sich anteilig aus den Produkten von Stoffmengenanteilen x der Komponente i mit zugehöriger Molarer Masse M des Reinstoffes i zusammen:

${\displaystyle M_{Gemisch}={\frac {\sum _{i}m_{i}}{\sum _{i}n_{i}}}=\sum _{i}(x_{i}\cdot M_{i})}$

Insbesondere für Berechnungen an Luft oder anderen technischen Gasmischungen spielt die Mittlere Molare Masse eine Rolle.

Die Summe aller Stoffmengenanteile ist immer 1.

Atomare und molekulare Gase, deren Stoffmengen und Molare Massen, theoretisches und reales Molares Volumen (Beispielrechnung)

Aus der umgestellten Idealgasgleichung lässt sich das Molare Volumen V_m eines Idealgases, ein theoretischer Wert, berechnen:

${\displaystyle V_{m}={\frac {V}{n}}={\frac {R\cdot T}{p}}}$

es hat für viele Gase näherungsweise Gültigkeit. Insbesondere für einatomige und zweiatomige Gase. Als Absolute Temperatur T ist hier 273,15 Kelvin (entsprechend zu 0 °C) einzugeben und 101325 Pascal als Druck (Luftdruck). Hier ist R die Allgemeine Gaskonstante, eine Naturkonstante.

${\displaystyle V_{m}={\frac {{\text{8,314510}}{\frac {Nm}{mol\cdot K}}\cdot {\text{273,15 K}}}{{\text{101325}}{\frac {N}{m^{2}}}}}={\text{0,022414}}{\frac {m^{3}}{\text{mol}}}}$

Man erhält für diese Temperatur und den Luftdruck als Ergebnis 22,414 [Liter/mol] Stoffmenge. Zwei Mol Stoffmenge benötigen daher 44,828 Liter als Volumen. Theoretisch. Gültig für ein sich ideal verhaltendes Gas bei geringen Drücken, so auch dem Luftdruck.

Das reale Gas wird aber davon etwas abweichen. In obiger Tabelle wurde die Dichte (Massendichte), die bei Luftdruck und 0 °C zu diesen Gasen gemessen wurde, aufgeführt. Multipliziert man deren Wert mit 22,414 Litern (denen theoretisch ja ein Mol Stoffmenge n zugewiesen ist), so erhält man die Masse m dieses Volumens (22,414 Liter) für das reale Gas (faktisch ein gemessener Wert, da die Dichtewerte gemessen wurden).

Nun lässt sich im Einzelfall an den berechneten Massen zu je 22,414 Liter Volumen auch erkennen, ob das Gas atomar oder als mehratomiges Gas vorliegt. Wie man sieht müssen Wasserstoff, Sauerstoff, Stickstoff und Chlor als zweiatomiges Gas vorliegen. Deren Molmasse M ist daher die molekulare (hier verdoppelte) Molmasse.

Die Bildungsgleichung dieser zweiatomigen Gase lautet (beispielsweise für Wasserstoff):

${\displaystyle \mathrm {2\ H\longrightarrow 1\ H_{2}} }$

Relativ oder absolut bilden demnach 2 Mol Stoffmenge des atomaren Gases ein Mol Stoffmenge des molekularen (zweiatomigen) Gases. Zur linken Seite gehört die atomare Molare Masse, zur rechten Seite die molekulare Molare Masse (die verdoppelte für die zweiatomigen Gase Wasserstoff, Sauerstoff, Stickstoff, Chlor und auch Fluor).

Wasserdampf ist dreiatomig, weswegen sein reales Molares Volumen deutlich von dem eines Idealgases abweicht.

Das tatsächliche molare Volumen des realen Gases (in obiger Tabelle in rechter Spalte), erhält man berechnet aus (tatsächlicher) Molarer Masse und der gemessenen Dichte.

Aus der Definition des Molaren Volumens folgt nämlich:

${\displaystyle V_{m}={\frac {V}{n}}={\frac {V}{m/M}}={\frac {V\cdot M}{m}}={\frac {M}{\varrho }}}$

Die Stoffmenge n wurde mit Hilfe der umgestellten Definition der Molaren Masse ausgetauscht/substituiert, gegen den Quotienten von Masse m und Molarer Masse M. Der Quotient von Masse m und Volumen V ist die Dichte ${\displaystyle \varrho }$ (Massendichte).

Nach obigem Schema (Tabelle) vorgehend konnte also die Frage beantwortet werden, ob ein Gas atomar oder molekular (zweiatomig) vorliegt und welche Molare Masse es somit tatsächlich hat, die atomare oder die molekulare. Ob man 2 Mol Stoffmenge mit der atomaren Molaren Masse multipliziert, oder ein Mol der molekularen Stoffmenge mit der verdoppelten Molmasse multipliziert, ist hingegen nur eine Formsache. Es ergibt die gleiche Masse m. Bei der Umwandlung von zwei Atomen zu einem zweiatomigen Molekül geht keine Masse verloren. Es gilt der Massenerhaltungssatz.

Die Gase Wasserstoff, Sauerstoff und Stickstoff können nur kurzzeitig bei Luftdruck als atomare Gase existieren. Sie bilden augenblicklich ein Molekül, da dieses energieärmer und damit stabiler ist.

Stöchiometrie der Elektrochemie

(relative) Ionenladung (Ionen-Wertigkeit) z

Die stöchiometrische Wertigkeit z^[21] eines ionisierten Atomes, Ion genannt, ist die Anzahl überschüssiger Elektronen (beim Anion) bzw. fehlender Elektronen (beim Kation). Überschüssig oder fehlend in Bezug zum (elektroneutralen) Atom, das die Ladung ±0 hat. Das elektroneutrale Atom hat im Atomkern genausoviele positiv geladene Protonen, wie es Elektronen in der Elektronenhülle (den Orbitalen) hat. Daher ist es in der Wirkung nach außen hin elektrisch neutral, also ungeladen. (Die Neutronen im Atomkern haben keine Ladung).

In der Elektrochemie sind Elektronen oder Ionen Teil der Reaktionsgleichung. Elektronen müssen zugeführt werden (Reduktion) oder abgeführt werden (Oxidation). Beides läuft gleichzeitig ab (Redoxreaktion).

Ist die Ionenladung z=3 so müssen pro Mol des Ions dreimal soviel Elektronen zugeführt oder abgeführt werden (im Vergleich zu z=1).

Ein einwertiges negatives Ion (Anion) hat die absolute Ladung eines Elektrons, also die Elementarladung e. Seine relative Ladung ist die Ladungszahl z=1.

Faktisch gilt:

${\displaystyle z_{i}=|{\frac {Q_{i}}{e}}|}$

Hier ist Q die absolute Ladung des Ions i und e die Elementarladung eines Elektrons.

Äquivalentstoffmenge n_eq und Äquivalentkonzentration c_eq

Zum Abscheiden eines Ions der Ladungszahl z=3 muss man dreimal soviel Ladungsmenge fließen lassen im Vergleich zu einem einwertigen (z=1) Ion.

Daher sind Äquivalentstoffmenge und Äquivalentkonzentration jeweils in diesem Beispiel dreimal so groß, als wenn einwertige Ionen in dieser Stoffmenge (Stoffmengenkonzentration; Stoffmengenkonzentration mal Volumen ist die Stoffmenge !) elektrochemisch abzuscheiden wären.

Äquivalentstoffmenge und Äquivalentkonzentration sind keine real existieren Größen, es sind Rechengrößen. Ihre Definitionen lauten ^[22]:

${\displaystyle n_{eq,i}=z_{i}\cdot n_{i}}$

und

${\displaystyle c_{eq,i}=z_{i}\cdot c_{i}}$

Elementarladung e, Avogadrozahl N_A, Faradaykonstante F und Elektrochemisches Äquivalent Ä_e

Die Elementarladung e ist die Ladungsmenge Q die ein Elektron (negativ geladen) oder ein Positron (positiv geladen) aufweist.

Das Produkt von Elementarladung e und der Avogadrozahl N_A ist die Faradaykonstante F. Sie sagt aus, welche Ladungsmenge Q in der Einheit Coulomb (C) benötigt wird um ein Mol einwertige Ionen (z=1) elektrochemisch abzuscheiden. Also durch Stromfluss (Gleichstrom). Das Produkt aus Strom I in Ampere und Zeit t des Stromflusses ist die Ladungsmenge in Amperestunden, die in Amperesekunden (Coulomb=C) umgerechnet werden kann.

Die Elementarladung e (also ein Elektron) könnte also nur ein einwertiges Ion (ein einwertig ionisiertes Atom) abscheiden. Die Faradaykonstante kann ein ganzes Mol Stoffmenge einwertige Ionen abscheiden. Für dreiwertige Ionen (z=3) braucht man jeweils dreimal soviel Ladungsmenge um sie abzuscheiden.

Formelmäßige Zusammenhänge ^[23]:

${\displaystyle F=N_{\mathrm {A} }\cdot e\approx 96\,485\,{\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {mol} }}}$

Da Coulomb ([C]) auch gleichbedeutend Amperesekunden ([As]) ist, benötigt man also etwa 96485 Amperesekunden um ein Mol einwertige Ionen abzuscheiden. In der Reaktionsgleichung wird das Elektron als „e“ angegeben in der Elektrochemie. Zu unterscheiden ist zwischen Elektronenzufuhr (Kathodische Reduktion an der Kathode) und Elektronenabfuhr (Anodische Oxidation an der Anode).

Das Elektrochemische Äquivalent Ä_e eines Stoffes i ist die Masse m in Gramm, die aus seinem Ion mit der Ladungszahl z (Ionenwertigkeit, relative Ionenladung) abgeschieden wird (an Kathode oder Anode) von einer Amperesekunde (=1 Coulomb) Ladungsmenge.

Die positiv geladenen Kationen (Metallionen, Wasserstoffionen etc.) werden an der negativen Kathode entladen. Die negativ geladenen Anionen (Hydroxidion, Säurerest-Ionen etc.) werden an der positiv geladenen Anode entladen.

Den Zusammenhang zwischen genannten Größen/Naturkonstanten stellt die Definition der Molaren Masse M bzw. deren umgestellte Version her:

${\displaystyle m_{i}=n_{i}\cdot M_{i}}$

Daher gilt letztlich:

${\displaystyle {\text{ Ä}}_{e,i}={\frac {m_{i}}{z_{i}\cdot n_{i}\cdot F}}={\frac {M_{i}}{z_{i}\cdot F}}}$

Stöchiometrie der Kernphysik

Massenzahl A, Ordnungszahl Z, Neutronenzahl N

Massenzahl A, Ordnungszahl Z und Neutronenzahl N sind folgendermaßen verknüpft:

${\displaystyle A=Z+N}$

Die Ordnungszahl Z ist auch die Protonenanzahl im Atomkern und daher die Elementnummer eines jeden Elements im Periodensystem der Elemente. Das ungeladene/nichtionisierte Atom hat so viele Elektronen in der Elektronenhülle wie Protonen im Atomkern. Die Ordnungszahl (Elementnummer) wird im Feld des Periodensystems links oben und die Massenzahl rechts oben angegeben.

In stöchiometrischen Reaktionsgleichungen der Kernchemie/Kernphysik spielen Massenzahl und Ordnungszahl eine Rolle. Die Neutronenzahl wird normalerweise nicht angegeben.

Definitionen von Hilfsgrößen der Bilanzierung

Stoffmengenanteil x, Massenanteil w und Volumenanteil φ eines Stoffgemisches

Der Stoffmengenanteil x der Komponente i ist definiert als ^[24]:

${\displaystyle x_{i}={\frac {n_{i}}{n_{ges}}}={\frac {c_{i}}{c_{ges}}}}$

(Der rechte Term der Definitionsgleichung entsteht beim Teilen von Zähler und Nenner durch das Gesamtvolumen). Hier ist n_i die vorliegende Stoffmenge oder deren Stoffmengenkonzentration c für Komponente i. Und n ist die vorliegende gesamte Stoffmenge aller Stoffe bzw. deren gesamte Stoffmengenkonzentration c_ges (Summenkonzentration).

Der Massenanteil w der Komponente i ist definiert als ^[25]:

${\displaystyle w_{i}={\frac {m_{i}}{m_{ges}}}={\frac {\beta _{i}}{\beta _{ges}}}}$

(Der rechte Term der Definitionsgleichung entsteht beim Teilen von Zähler und Nenner durch das Gesamtvolumen). Hier ist m_i die vorliegende Masse oder deren (volumenbezogene) Massenkonzentration ${\displaystyle \beta }$ für Komponente i. Und m_ges ist die vorliegende gesamte Masse aller Stoffe bzw. deren gesamte summierte Massenkonzentration ${\displaystyle \beta _{ges}}$.

Eine Umrechnung zwischen Stoffmengenanteil und Massenanteil ist möglich wenn man mit der umgestellten Definition der Molaren Masse M entweder Stoffmenge n oder Masse m in einer der beiden Formeln substituiert. So würden die Molaren Massen aller beteiligten Stoffe i in die Umrechnungsformel einfließen.

Der Volumenanteil φ eines Stoffes i am Gesamtvolumen der Mischung (Mischphase) ist definiert als:

${\displaystyle \varphi _{i}={\frac {V_{i}}{V_{ges}}}}$

Bei Flüssigkeiten ist das Volumen V_i das Volumen der Komponente i vor dem Mischen. Bei sich ideal verhaltenden Gasen besteht kein Unterschied im Partialvolumen vor oder nach dem Mischen der Gase. Das Gesamtvolumen ist (auch bei Flüssigkeiten) das nach dem Vermischen. Beim Mischen von Flüssigkeiten kann das Mischvolumen sich von der Summe der Volumina der Ausgangsstoffe unterscheiden, wenn ein positives oder negatives Exzessvolumen V^E auftritt.

Die Zahlenwerte von Stoffmengenanteil sowie Massenanteil und Volumenanteil liegen immer zwischen Null und Eins. Die Summe aller Stoffmengenanteile ist Eins. Die Summe aller Massenanteile ist ebenfalls Eins. Dies gilt auch für die Summe der Volumenanteile ^[26]:

${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=\sum _{i}x_{i}=\sum _{i}\varphi _{i}=1}$

Molare Masse eines Stoffgemisches

Die Molare Masse eines Stoffgemisches der Stoffe i setzt sich anteilig aus den Stoffmengenanteilen x und den Molaren Massen M der Reinstoffe zusammen:

${\displaystyle M_{Gemisch}={\frac {\sum _{i}m_{i}}{\sum _{i}n_{i}}}=\sum _{i}(x_{i}\cdot M_{i})}$

Es sei hier noch einmal darauf hingewiesen, dass die Summe aller (i) Stoffmengenanteile zu den Mischungsbestandteilen i die Zahl 1 ergibt.

Definitionen zeitabhängiger (integraler) Größen der Bilanzierung

Größen für Ausgangsstoffe und Produkte

Umsatzvariable (ξ), auch Fortschreitungsgrad (veraltet: Reaktionslaufzahl)

Nach der Molaren Masse M und der Stoffmenge n ist die Umsatzvariable ξ (Fortschreitungsgrad) die wichtigste Größe (Definition) in Stöchiometrie und Chemischer Kinetik. Dies liegt an der Art ihrer Definition, die so angelegt wurde, dass diese Größe alle an der Reaktion beteiligten Reaktionspartner/Stoffe („Reaktanden“) miteinander verbindet^[27]:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {\Delta n_{A}(t)}{\nu _{A}}}={\frac {\Delta n_{B}(t)}{\nu _{B}}}={\frac {\Delta n_{C}(t)}{\nu _{C}}}={\frac {\Delta n_{D}(t)}{\nu _{D}}}}$

oder verallgemeinert:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {\Delta n_{i}(t)}{\nu _{i}}}={\frac {n_{i}(t)-n_{i,0}}{\nu _{i}}}}$

(gültig für beliebig viele Reaktionsteilnehmer i einer unabhängigen Einzelreaktion j)

Die Formel gilt für den diskontinuierlichen Batchbetrieb. Für den kontinuierlichen Fließbetrieb sind die Stoffmengen durch Molenströme zu ersetzen. Jede chemisch unabhängige Einzelreaktion (also keine Bruttoreaktion/Gleichgewichtsreaktion), die hier mit dem Index j benannt wird, hat für jede Zeit t (oder Verweilzeit τ) eine einzige Umsatzvariable, die für alle beteiligten Reaktionspartner (hier A, B, C und D) Gültigkeit hat. Diese Reaktionspartner werden verallgemeinernd meist mit einem kleinen i als Index betitelt.

Bereits aus der Definition der Umsatzvariable folgt daher, in welchem Stoffmengen-Verhältnis die Reaktionspartner miteinander reagieren bzw. sich in einander umwandeln. Dieses Verhältnis fließt hier indirekt in Form der stöchiometrischen Koeffizienten ν_i ein, die aus der Reaktionsgleichung entnommen werden.

Da Ausgangsstoffe (Edukte) bei einer Einzelreaktion immer nur verbraucht, nie aber gebildet werden, ist deren Stoffmengenänderung negativ. Da per Definition aber die Umsatzvariable nur positive Zahlenwerte hat (die Reaktion läuft nur in einer Richtung ab, wie der Reaktionspfeil in einer Richtung belegt) müssen definitionsgemäß die stöchiometrischen Koeffizienten der Ausgangsstoffe hier als negative Zahlen/Ziffern eingesetzt werden. Da Produkte gebildet werden, ist deren Stoffmengenänderung positiv. Deren stöchiometrische Koeffizienten dürfen daher als positive Zahlen hier eingesetzt werden.

Während der nachfolgend besprochene Umsatz eine stoffspezifische Kennzahl für eine Einzelreaktion oder eine Gleichgewichtsreaktion (Hin- und Rückreaktion gleichzeitig betrachtet) ist und nur für Ausgangsstoffe angewendet wird, ist die Umsatzvariable immer einer einzelnen Reaktion als Kennzahl zugewiesen. Letztere gilt für Ausgangsstoffe und Produkte der einen Reaktion. Daher hat der Umsatz als Index ein i (für den reagierenden Stoff) die Umsatzvariable aber ein j (für die Reaktion j). Beide Größen hängen von der Reaktionsdauer oder der Verweilzeit ab. Der Umsatz ist einheitslos. Die Umsatzvariable hat die Einheit mol für den Batchbetrieb oder [mol/s] für den Fließbetrieb. Für eine unabhängige Einzelreaktion eines Ausgangsstoffes können Umsatz und Umsatzvariable in einander umgerechnet werden wenn der stöchiometrische Koeffizient für die Substanz i bekannt ist (für eine Reaktionsdauer t oder Verweilzeit τ).

(Summierte) Stoffmengenänderung des Stoffes i bei mehreren gleichzeitigen unabhängigen Einzelreaktionen j an denen i beteiligt ist

Die umgestellte Definitionsgleichung der Umsatzvariable (Fortschreitungsgrad) lautet:

${\displaystyle \Delta n_{i,j}(t)=n_{i,j}(t)-n_{i,j,0}=\nu _{i,j}\cdot \xi _{j}(t)}$

Dies gilt für eine unabhängige Einzelreaktion (Hinreaktion, keine Gleichgewichtsreaktion) j.

Laufen gleichzeitig mehrere unabhängige Einzelreaktionen j ab, so addieren sich die Stoffmengenänderungen der Komponente i der verschiedenen Reaktionen unter korrekter Berücksichtigung des Vorzeichens des stöchiometrischen Koeffizienten von i in der jeweiligen Reaktion j. Ist i in Reaktion j ein Ausgangsstoff, so ist sein stöchiometrischer Koeffizient in dieser Reaktion j negativ einzusetzen, da diese Reaktion die Stoffmenge/Stoffmengenkonzentration von i absenkt (verbraucht).

Da die verschiedenen Reaktionen in einem Volumen (Reaktor) ablaufen gibt es nur eine gemeinsame Anfangsstoffmenge oder Anfangs-Stoffmengenkonzentration. Es gibt aber auch nur eine gemeinsame Stoffmenge oder Stoffmengenkonzentration zur Zeit t (Verweilzeit im Fließbetrieb), der Reaktionsdauer. Die Stoffmengenänderungen der verschiedenen Reaktionen j des beteiligten Stoffes i wirken sich (vorzeichenrichtig) additiv auf Stoffmenge bzw. Stoffmengenkonzentration von i aus. Welche der Reaktionen welchen Beitrag zur Stoffmengenänderung/Konzentrationsänderung leistet, bzw. wie groß die Umsatzvariablen (Fortschreitungsgrade) der einzelnen Reaktionen zur Zeit t (Reaktionsdauer) sind, kann nur aus einer Stoffmengenbetrachtung anderer beteiligter Stoffe (die jeweils nur an einer Reaktion teilnehmen) ermittelt werden.

Es gilt:

${\displaystyle \sum _{j}\Delta n_{i,j}(t)=n_{i}(t)-n_{i,0}=\sum _{j}(\nu _{i,j}\cdot \xi _{j}(t))}$

Jede der Reaktionen j hat zur Zeit t eine eigene Umsatzvariable (Fortschreitungsgrad), deren Werte zu ermitteln sind.

Größen nur für Ausgangsstoffe

Umsatz (X_i)

Der Umsatz, Umsatzgrad X_i (oder U_i^[28] oder ${\displaystyle \alpha }$^[29]) ist ein Begriff der chemischen Reaktionstechnik, der angibt, welcher Anteil des ursprünglichen eingesetzten Ausgangsstoffes i beim Verlassen des Reaktors durch chemische Reaktion in andere chemische Stoffe umgewandelt wurde. Etwas mathematischer ausgedrückt: Der Umsatz(grad) X_i ist der Anteil der umgesetzten Menge der Komponente i bezogen auf deren ursprünglich eingesetzte Menge n_i,0, wobei n_i die anschließend noch vorhandene Restmenge der Komponente i ist ^[30]:

${\displaystyle X_{\mathrm {i} }(t)={\frac {-\Delta n_{i}(t)}{n_{i,0}}}={n_{\mathrm {i,0} }-n_{\mathrm {i} }(t) \over n_{\mathrm {i,0} }}=1-{n_{\mathrm {i} }(t) \over n_{\mathrm {i,0} }}}$

(Sind mehrere Ausgangsstoffe beteiligt, kann der Umsatz per Konvention/Festlegung des Anwenders auf denjenigen Stoff bezogen werden (im Nenner), der limitierend ist bzw. im Unterschuss vorliegt. Dies wäre aber eine eigene Definition des Anwenders, würde von der Standard-Definition des Umsatzes abweichen und führt zu den gleichen Problemen die die verschiedenen (!) Definitionen von Ausbeute und Selektivität schon mit sich brachten.)

Der Begriff Umsatz wird grundsätzlich nur auf Ausgangsstoffe (Edukte) angewendet. Ausgangsstoffe werden in einer unabhängigen Einzelreaktion (keine Gleichgewichtsreaktion/Bruttoreaktion) immer nur verbraucht. Die Stoffmengendifferenz oder das Differential nach der Zeit ist daher für Ausgangsstoffe negativ. Da der Umsatz aber einen positiven Zahlenwert erhalten sollte und die stöchiometrische Konstante des Ausgangsstoffes (die per Definition für die Anwendung in der Kinetik negativ ist) nicht zur Anwendung kommen konnte (einmal über dem Bruchstrich und einmal unter dem Bruchstrich jeweils mit -1 zu multiplizieren wäre ja nutzlos, da dies +1 ergibt als Multiplikator), entschied man sich die Stoffmengendifferenz in der Umsatzdefinition einfach mit -1 zu multiplizieren, was einer Vertauschung der Stoffmengen n_i und n_{i,0} in der Differenz bedeutet. Es entsteht nun eine positive Stoffmengendifferenz, obwohl die Stoffmenge n des Ausgangsstoffes ja mit der Zeit t abnimmt. Der Umsatz hat immer positive Werte, nämlich zwischen 0 und 1.

Die Bildung der Stoffmengendifferenz bzw des Differentials der Stoffmenge nach der Zeit unterscheidet sich für Ausgangsstoffe in Umsatzdefinition und der Definition der Umsatzvariable mit Faktor -1. In der Umsatzvariable konnte man die Differenz korrekt bilden (Endwert minus Anfangswert) in der Umsatzdefinition ist sie zwangsweise verkehrt herum angewendet worden (Anfangswert minus Endwert).

Daraus folgt die Formel zur Umrechnung zwischen Umsatz X_i,j und Umsatzvariable ξ_j für den Ausgangsstoff i als Reaktionsteilnehmer in der Einzelreaktion j^[31]:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {\Delta n_{i}(t)}{\nu _{i}}}={\frac {n_{i}(t)-n_{i,0}}{\nu _{i}}}={\frac {-X_{i}(t)\cdot n_{i,0}}{\nu _{i}}}}$

Der stöchiometrische Koeffizient (unter den Bruchstrichen) ist in allen Brüchen negativ einzusetzen, so wie in der Kinetik üblich für Ausgangsstoffe.

Umrechnen der Umsätze X(t) verschiedener Ausgangsstoffe

Gibt es in einer Reaktion mehrere Ausgangsstoffe (Edukte), die während der Reaktionsdauer t oder der statistischen Verweilzeit τ (Tau) teilweise verbraucht werden, kann man für eine gemeinsame Zeit die (einander proportionalen) Umsätze in einander umrechnen. Grundlage dafür sind die Definitionen von Umsatz X und Umsatzvariable ξ (Xi). Zunächst stellen wir die Umsatzdefinition um, indem wir mit dem Anfangs-Stoffmengenstrom beide Seiten multiplizieren:

${\displaystyle X_{i}(t)\cdot n_{i,0}=n_{i,0}-n_{i}(t)}$

Nun multipliziert man beide Seiten mit -1 und teilt beide Seiten gleich noch durch den stöchiometrischen Koeffizienten ν:

${\displaystyle {\frac {-X_{i}(t)\cdot n_{i,0}}{\nu _{i}}}={\frac {-(n_{i,0}-n_{i}(t))}{\nu _{i}}}}$

nach dem ausmultiplizieren der rechten Seite folgt:

${\displaystyle {\frac {-X_{i}(t)\cdot n_{i,0}}{\nu _{i}}}={\frac {n_{i}(t)-n_{i,0}}{\nu _{i}}}}$

Nun benötigt man die Definitionsgleichung der Umsatzvariable (Fortschreitungsgrad), die ebenfalls immer eine Funktion der Reaktionszeit t ist:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {n_{i}(t)-n_{i,0}}{\nu _{i}}}}$

Sie hat für die Einzelreaktion j (die also keine Bruttoreaktion sein darf) Gültigkeit für alle Reaktionsteilnehmer i dieser Reaktion j. Daher auch für deren Ausgangsstoffe, die wir A und B nennen wollen. Mit der passend umgeformten Umsatzdefinition folgt nun allgemein:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {n_{i}(t)-n_{i,0}}{\nu _{i}}}={\frac {-X_{i}(t)\cdot n_{i,0}}{\nu _{i}}}}$

Und letztlich gilt:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {-X_{A}(t)\cdot n_{A,0}}{\nu _{A}}}={\frac {-X_{B}(t)\cdot n_{B,0}}{\nu _{B}}}}$

Definitionsgemäß sind die stöchiometrischen Koeffizienten der Ausgangsstoffe A und B negativ einzusetzen. Die Formel könnte auf beliebig viele Ausgangsstoffe einer Einzelreaktion j erweitert werden. Ist der Umsatz einer Ausgangssubstanz bekannt, kann man die anderen daraus berechnen. Alle Umsätze natürlich zur selben Zeit t, zu der auch die Umsatzvariable gehört.

Im Fließbetrieb entspricht die Reaktionsdauer der statistischen Verweilzeit im Reaktorvolumen. Die Verweilzeit ist der Quotient aus Reaktorvolumen und Volumenstrom in den Reaktor hinein (oder aus dem Reaktor heraus).

Umsatz bei gleichzeitig mehreren unabhängigen Reaktionen (Hinreaktionen) j an denen Stoff i beteiligt ist

Näser/Lempe und Regen geben dazu als Zusammenhang an ^[32]:

${\displaystyle X_{i}={\frac {-1\cdot \sum _{j}(\nu _{i,j}\cdot \xi _{j})}{n_{i,0}}}}$

In der Summe der Produkte sind also die stöchiometrischen Koeffizienten ${\displaystyle \nu }$ des Stoffes i jeweils für eine Reaktion j und die zugehörige Umsatzvariable ${\displaystyle \xi }$ dieser Reaktion multipliziert und für alle Reaktionen j aufsummiert.

Ist Reaktionsteilnehmer i in einer der Reaktionen j ein Ausgangsstoff, so ist hier sein stöchiometrischer Koeffizient negativ einzusetzen. Diese Reaktion verringert die Stoffmenge(nkonzentration) von Stoff i im Reaktionsvolumen ja.

Die oben genannte Umrechnungsformel zwischen Umsatz des Stoffes i und den Umsatzvariablen (Fortschreitungsgrade) der verschiedenen Reaktionen j an denen i beteiligt ist entsteht aus folgenden Zusammenhängen:

umgestellte Umsatzdefinition:

${\displaystyle \Delta n_{i}(t)=n_{i}(t)-n_{i,0}=n_{i,0}\cdot (-U_{i}(t))}$

Die (Summen-)Stoffmengenänderung des Stoffes i aus mehreren Reaktionen j an denen i beteiligt ist, ergibt sich aus der erweiterten Definition der Umsatzvariable (Summenbildung der Stoffmengenänderungen jeder Reaktion j):

${\displaystyle \sum _{j}\Delta n_{i,j}(t)=n_{i}(t)-n_{i,0}=\sum _{j}(\nu _{i,j}\cdot \xi _{j}(t))}$

Gleichsetzen mit der umgestellten Umsatzdefinition (die ja für alle Reaktionen j, an denen i beteiligt ist gemeinsam gültig ist) liefert die Umrechnungsformel:

${\displaystyle \sum _{j}\Delta n_{i,j}(t)=n_{i}(t)-n_{i,0}=\sum _{j}(\nu _{i,j}\cdot \xi _{j}(t))=n_{i,0}\cdot (-U_{i}(t))}$

Hier ist i ein Ausgangsstoff. Da es nur ein gemeinsames Reaktionsvolumen gibt, gibt es nur eine Anfangsstoffmenge n_i,0 und nur eine End-Stoffmenge n_i(t) zur Zeit t (Reaktionsdauer oder Verweilzeit).

Größen nur für Produkte

Ausbeute (Y_P,k)

Die Ausbeute, oder Bildungsgrad^[33] , Y_P (auch A^[34], ${\displaystyle \eta }$ ^[35] oder ${\displaystyle \beta }$ ^[36]) ist ein Begriff der chemischen Reaktionstechnik, der die Menge eines Produkts P bezogen auf die eingesetzte Menge der Leitkomponente (k) angibt, also desjenigen Stoffes, der in geringerer Menge vorliegt als es der Stöchiometrie der Reaktion entspräche.

Für einen diskontinuierlichen Satzbetrieb gilt:

${\displaystyle Y_{P,k}={n_{P}-n_{P,0} \over n_{k,0}}\cdot {\left|v_{k}\right| \over v_{P}}}$

Für einen kontinuierlichen Fluss- bzw. Durchflussbetrieb gilt entsprechend:

${\displaystyle Y_{P,k}={{\dot {n}}_{P}-{\dot {n}}_{P,0} \over {\dot {n}}_{k,0}}\cdot {\left|v_{k}\right| \over v_{P}}}$

Näser/Lempe und Regen geben noch den Zusammenhang zur Umsatzvariable (Fortschreitungsgrad) für eine unabhängige Reaktion j (Hinreaktion) an ^[37]:

${\displaystyle Y_{i,k,j}={\frac {\nu _{i}\cdot \xi _{j}}{n_{k,0}}}}$

Es wurde hier darauf hingewiesen, dass die Bezugsgröße Anfangsstoffmenge(nstrom) entweder nur ein Reaktionspartner (Ausgangsstoff k) oder auch mehrere zusammen, also summiert, sein können.

Ausbeute bei mehreren gleichzeitigen unabhängigen Reaktionen j an denen Stoff P (bzw. i) beteiligt ist

Nach Näser/Lempe und Regen gilt ^[38]:

${\displaystyle Y_{i,k}={\frac {\sum _{j}{(\nu _{i,j}\cdot \xi _{j})}}{n_{k,0}}}}$

Auch hier kann die Bezugsgröße im Nenner ein einzelner Ausgangsstoff oder mehrere Ausgangsstoffe summiert sein. Jeweils als Anfangswerte im Reaktoreingang.

Hinweise zu Umsatzvariable (Fortschreitungsgrad), Umsatz und Ausbeute

Egal ob man nur eine unabhängige Einzelreaktion (Hinreaktion) oder mehrere unabhängige Einzelreaktionen vorliegen hat, an denen Stoff i als Ausgangsstoff teilnimmt, es gibt immer nur einen Umsatz für Ausgangsstoff i. Es gibt also keinen separaten „Summenumsatz“. Der normale Umsatz ist bei mehreren Reaktionen aber praktisch ein Summenumsatz, wird aber Umsatz genannt. Dieser Umsatz hat für Ausgangsstoff i also Gültigkeit für alle Reaktionen, an denen i beteiligt ist (mindestens einmal als Ausgangsstoff). Es gibt also nicht einen separaten Umsatz für Stoff i für jede Reaktion j an der i beteiligt ist.

Hingegen ist die Umsatzvariable eine Größe die immer einer einzelnen Reaktion zugeordnet ist. Sie hat Gültigkeit für jeden Stoff i, der an dieser Reaktion teilnimmt als Ausgangsstoff oder als Produkt. Laufen gleichzeitig fünf unabhängige Reaktionen ab, benötigt man fünf Umsatzvariablen um sie zu beschreiben.

Die Umsatzdefinition wird nur für Ausgangsstoffe angewendet. Für diese sind Umsatz und Umsatzvariable (Fortschreitungsgrad) für eine Zeit t (Reaktionsdauer) ineinander umrechenbar. Die Zahlenwerte von Umsätzen liegen zwischen 0 und +1. Erhält man negative Werte, hat man entweder fälschlich einen Umsatz für ein Produkt berechnet oder für einen Ausgangsstoff die zeitabhängige Stoffmengendifferenz/Konzentrationsdifferenz in falscher Reihenfolge gebildet.

Während Umsätze die Umsatzgrade von Ausgangsstoffen benennen, beschreibt die Ausbeute den Bildungsgrad (alternative Bezeichnung der Ausbeute !) von Produkten. Die Werte der Ausbeute sind ebenso wie beim Umsatz immer positiv und liegen zwischen 0 und +1. Ebenso wie beim Umsatz ist die Ausbeute faktisch eine Summenausbeute für ein Produkt P, wenn dieses gleichzeitig in mehreren unabhängigen Einzelreaktionen j gebildet wird. Auch diese Summenausbeute heißt nur „Ausbeute“. Es gibt für ein Produkt nur eine Ausbeute (für mehrere Bildungsreaktionen) so wie es nur einen Umsatz für jeden beteiligten Ausgangsstoff gibt.

Eine Summen-Umsatzvariable oder eine Brutto-Umsatzvariable gibt es nicht, da Umsatzvariablen nur jeweils für eine Reaktion Gültigkeit haben. Daher gibt es aber eine Summen-Stoffmengenänderung für den Reaktionsteilnehmer i, der gleichzeitig an mehreren unabhängigen Reaktionen im Reaktionsvolumen teilnimmt. Diese Summen-Stoffmengenveränderung von i hat in einer Reaktionsdauer t nur eine gemeinsame Konzentrationsänderung (Stoffmengenänderung) zur Folge. Es gibt hier für i nur eine Anfangskonzentration und eine Endkonzentration in dem einen Volumen. Anteilig von verschiedenen Reaktionen verursacht.

Sonstige Verhältnisgrößen und Zusammenhänge

Selektivität (S_P,k) der Produktbildung (von P) bei mehreren gleichzeitigen Reaktionen j an denen Ausgangsstoff k (Bezugskomponente) beteiligt ist

Die Selektivität S_P,k einer chemischen Umsetzung oder eines Reaktors ist ein Begriff der chemischen Reaktionstechnik, der angibt, welcher Anteil der umgesetzten Menge des Reaktants unter Berücksichtigung der Stöchiometrie in das gewünschte Zielprodukt umgesetzt wurde. In der Regel nämlich setzen sich nicht alle Moleküle des Ausgangsstoffs zu dem gewünschten Produkt um, da durch Folge- oder Konkurrenzreaktionen auch andere Produkte entstehen können:

${\displaystyle S_{P,k}={\mathrm {gebildete\;Menge} \,(P) \over \mathrm {umgesetzte\;Menge} \,(k)}={(n_{P}-n_{P,0})/\nu _{P} \over (n_{k,0}-n_{k})/|\nu _{k}|}={Y_{P,k} \over X_{k}}}$

Entstehung der Selektivitäts-Definition: Die Ausbeute-Definition für ein Produkt lautet:

${\displaystyle A_{P,k}={\frac {\sum _{j}(\Delta n_{P,j}(t))/\nu _{P,j}}{n_{k,0}/|\nu _{k,j}|}}}$

Die Umsatz-Definition für den Bezugs-Ausgangsstoff k lautet:

${\displaystyle U_{k}={\frac {-1\cdot \sum _{j}(\Delta n_{k,j}(t))/|\nu _{k,j}|}{n_{k,0}/|\nu _{k,j}|}}={\frac {-1\cdot \sum _{j}(\Delta n_{k,j}(t))}{n_{k,0}}}}$

Die stöchiometrischen Koeffizienten sind in der Umsatzdefinition wegkürzbar, da in Zähler und Nenner für den gleichen Stoff (hier k) angegeben. Die Stoffmengendifferenz wird in der Umsatzdefinition „polaritätsverkehrt“ durchgeführt, damit Umsätze trotz negativer/abnehmender Stoffmengen positive Zahlenwerte liefern.

Da Ausbeute und Umsatz nun für Bezugs-Ausgangsstoff k definiert sind, bzw. auf dessen Anfangsstoffmenge (oder Eingangs-Stoffmengenstrom in den Reaktor), bietet es sich an einen Quotienten von Ausbeute (für P/k) und Umsatz (für k) zu bilden:

${\displaystyle S_{P,k}={\frac {A_{P,k}}{U_{k}}}={\frac {({\frac {\sum _{j}(\Delta n_{P,j}(t))/\nu _{P,s}}{n_{k,0}/|\nu _{k,s}|}})}{({\frac {-1\cdot \sum _{j}(\Delta n_{k,j}(t))/|\nu _{k,s}|}{n_{k,0}/|\nu _{k,s}|}})}}={\frac {\sum _{j}(\Delta n_{P,j}(t))/\nu _{P,s}}{-1\cdot \sum _{j}(\Delta n_{k,j}(t))/|\nu _{k,s}|}}={\frac {\Delta n_{P}(t)/\nu _{P,s}}{-\Delta n_{k}(t)/|\nu _{k,s}|}}={\frac {(n_{P}(t)-n_{P,0})/\nu _{P,s}}{-1\cdot (n_{k}(t)-n_{k,0})/|\nu _{k,s}|}}}$

Da Ausbeute und Umsatz in diesem Falle jeweils in den Nennern des Doppelbruches die Anfangsstoffmenge (oder den Eingangsstoffmengenstrom in den Reaktor) zu stehen hat, kürzen sich diese Anfangsgrößen n_k,0 weg. Während Umsatz und Ausbeute eindeutig zeitbezogene Größen sind, gilt dies für die Selektivität nur noch komplexerweise, denn die zeitbezogenen Umsatzvariablen (Fortschreitungsgrade) der unabhängigen Reaktionen j fließen bei der Selektivität in Zähler und Nenner ein.

Ob stöchiometrische Koeffizienten von Ausgangsstoffen (hier k) negativ oder positiv einzusetzen sind, hängt von der Art ab wie man die zugehörige Stoffmengendifferenz bildet.

Die zur Normierung dienenden stöchiometrischen Koeffizienten wurden einer willkürlich ausgesuchten Schlüsselreaktion entnommen und haben in obiger Formel daher zusätzlich ein kleines „s“ als Tiefzahl erhalten. Siehe dazu nachfolgendes Unterkapitel.

Anteilige stöchiometrische Koeffizienten und Koeffizienten einer Schlüsselreaktion (s)

An der Definition der Selektivität wird nun eine Schwachstelle sichtbar. In den summierten Stoffmengenänderungen (Summe der Produkte von stöchiometrischen Koeffizienten des Stoffes i in der Reaktion j mit deren Umsatzvariable, summiert für alle Reaktionen j an denen i teilnimmt) fließen die verschiedenen stöchiometrischen Koeffizienten von i (pro Reaktion j einer) anteilig ein in die Stoffmengenänderung. Die Anteile oder genauer deren Verhältnis sind die Umsatzvariablen (Fortschreitungsgrade) der Reaktionen j zur Zeit t (Reaktionsdauer). Somit konnten die summierten Stoffmengenänderungen mehrerer gleichzeitiger Reaktionen für jeden Stoff i berechnet werden.

Doch in den Definitionen von Ausbeute und Selektivität ist es nötig diese summierte Stoffmengenänderung (für P und für k) noch durch „deren“ stöchiometrischen Koeffizienten zu teilen. Also im stöchiometrischen Sinne eine Normierung durchzuführen. Hier kann nur der stöchiometrische Koeffizient dieser Stoffe für eine willkürlich ausgesuchte „Schlüsselreaktion“ herangezogen werden. Beispielsweise von der Reaktion die alleinig das gewünschte Hauptprodukt P bildet.

Die Umsatzdefinition hat dieses Problem gar nicht erst. Bei ihr steht der gleiche Stoff i in Zähler und Nenner. Die stöchiometrischen Koeffizienten sind hier nicht vorhanden, da kürzbar.

Umsatz-Ausbeute-Selektivität-Zusammenhang

Kombiniert man die Definitionen für Umsatz, Ausbeute und Selektivität miteinander, erhält man einen einfachen Zusammenhang der drei Größen:

${\displaystyle Y_{P,k}(t)=X_{k}(t)\cdot S_{P,k}}$

Das bedeutet, dass, wenn es nur eine mögliche Reaktion gibt (S=1), der Zahlenwert der Ausbeute Y (des Produktes P) automatisch gleich dem Zahlenwert des Umsatzes X (des Ausgangsstoffes k) ist.

Dieser Zusammenhang gilt nur wenn der Umsatz für die gleiche Bezugskomponente k (ein Ausgangsstoff) berechnet wurde, auf die auch Ausbeute und Selektivität sich beziehen (in deren Nennern).

Ausbeute und Umsatz sind von der Reaktionsdauer t direkt abhängige Größen, da die zeitabhängige(n) Umsatzvariable(n) in sie einflossen. In der Selektivität ist die Zeitabhängigkeit nur noch komplex enthalten, da sie in Zähler und Nenner einfließt.

Hinweise zu anderen und veralteten Definitionen von Ausbeute und Selektivität

In verfahrenstechnischen Lehrbüchern wurden diese beiden Begriffe bereits etwa um 1980 nicht mehr behandelt oder nur noch kurz angesprochen. Zu beiden Begriffen gab es jeweils verschiedene historisch gewachsene Definitionen. Sie werden wohl teilweise noch als Kennzahlen bestehender Verfahren/Darstellungsmethoden eines Produktes (P) angewendet, dienen aber nur dem Vergleich der Effizienz des Verfahrens im Vergleich mit anderen.

Walter Brötz spricht das Thema Ausbeute 1957 nur ganz kurz an^[39]. Er verweist auf verschiedene Definitionen:

1) * Quotient aus Masse(nstrom) des erzeugten Produktes zur/zum (umgesetzten) Masse(nstrom) eines verbrauchten Ausgangsstoffes (Bezugsgröße). Dies dürfte wohl die gebräuchlichste Definition sein:

${\displaystyle Y_{\text{P,K}}=A_{\text{P,K}}={\frac {\Delta m_{P}}{\Delta m_{K}}}}$

2) * Quotient aus Masse(nstrom) des erzeugten Produktes P, bezogen auf die Anfangsmasse oder den in den Reaktor eintretenden Massenstrom der Bezugssubstanz (Ausgangsstoff)

${\displaystyle Y_{\text{P,K}}=A_{\text{P,K}}={\frac {\Delta m_{P}}{m_{\text{K,0}}}}}$

In beiden Definitionen können die Massen gegen Stoffmengen getauscht werden, wenn die Molare Masse als Proportionalitätsfaktor eingeführt wird. Daneben soll es noch andere Definitionen für die Ausbeute gegeben haben. Nach Brötz existiert neben einem thermodynamisch maximalen Umsatz auch eine thermodynamisch maximale Ausbeute A_max. Außerdem benennt er relativen Umsatz U_rel und relative Ausbeute A_rel jeweils als Quotient von aktuellem Wert zu deren maximalem thermodynamischen Gleichgewichtswert. Das Produkt aus Reaktordurchsatz und Umsatz oder auch das Produkt aus Reaktordurchsatz und Ausbeute wird von Brötz als Reaktorleistung L betitelt. Der Begriff Selektivität erscheint bei Brötz nicht. Er verweist noch darauf, dass manchmal in der Technik auch der Reaktordurchsatz selbst als Leistung L des Reaktors angesehen wird, insbesondere wenn Umsatz und Ausbeute nahezu den Wert 1 haben.^[39]

Im Begriffslexikon „ABC Verfahrenstechnik“ von 1979^[40] werden die Begriffe Ausbeute und Selektivität jeweils kurz behandelt. Hier ist die Ausbeute folgendermaßen definiert: Quotient aus erzeugtem Stoffmengenstrom des Produktes P (geteilt durch seinen stöchiometrischen Koeffizienten) bezogen auf den in den Reaktor eintretenden Stoffmengenstrom der Bezugssubstanz/Ausgangsstoff K (geteilt durch dessen stöchiometrischen Koeffizienten):

${\displaystyle Y_{P,K}=A_{P,K}={\frac {\Delta n_{P}/\nu _{P}}{n_{K,0}/|\nu _{K}|}}}$

Hier verwendet man als Symbol der Ausbeute ein A. Die Autoren merken noch an: „Bei komplexen Reaktionen verliert die Ausbeutedefinition häufig ihren Sinn“.^[40]

Ein Tafelwerk definiert die stöchiometrische Ausbeute ${\displaystyle \eta }$ faktisch als Wirkungsgrad bezüglich der Bildung eines gewünschten Stoffes i:

${\displaystyle \eta _{i}={\frac {n_{i,real}}{n_{i,max}}}}$

also als Quotient aus real gebildeter Stoffmenge zur maximal (theoretisch) möglichen Stoffmenge von i ^[41].

Die vorletzte genannte Quelle thematisiert noch die Selektivität. Zitat: „Verhältnis der (molaren) Konzentration eines erwünschten Produktes oder Zwischenproduktes (P) zur Summe der Konzentrationen aller Zwischen- und Endprodukte“:

${\displaystyle \varphi _{P}={\frac {c_{P}}{\Sigma c_{Produkte}}}}$

Betitelt hier mit einem kleinen Phi. Es soll noch andere Definitionen für die Selektivität geben, von denen sich aber keine durchsetzen konnte. Außerdem gibt es eine Selektivitäts-Definition (hier mit „S“ benannt) in verfahrenstechnischen Stofftrennverfahren (Flüssig-Flüssig-Extraktion), die definiert ist als Quotient zweier Quotienten. Im Zähler steht das Verhältnis der Massenanteile zweier Stoffe A und B. Hier für das Extrakt (gemeint ist wohl ein Zwischenprodukt?). Im Nenner steht ein gleichartiges Verhältnis dieser Stoffe A und B für das Raffinat^[42].

Massenbasierte Bilanzierung und Bilanzgrößen

Wegen der Proportionalität von Masse m und Stoffmenge n durch die Definition der Molaren Masse M:

${\displaystyle M_{i}={\frac {m_{i}}{n_{i}}}}$

können Stoffmengen n substituiert werden durch den Quotienten von Masse und Molarer Masse:

${\displaystyle n_{i}={\frac {m_{i}}{M_{i}}}}$

Umsatzvariable (Fortschreitungsgrad) aus Stoffmengen oder Massen berechnen

Die „normale“ Umsatzvariable ${\displaystyle \xi }$ kann also auch aus den in der chemischen Reaktion umgesetzten Massen m berechnet werden. Die stöchiometrischen Koeffizienten ${\displaystyle \nu }$ müssen also bekannt sein und auch die Molaren Massen M der Reaktionsteilnehmer, die wir hier A, B, C und D nennen (Beispiel).

Die umgestellte Definition der Molaren Masse M lautet:

${\displaystyle n_{i}={\frac {m_{i}}{M_{i}}}}$

Damit können nun die Stoffmengen n in der Definitionsgleichung der Umsatzvariable substituiert werden:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {n_{i}(t)-n_{i,0}}{\nu _{i}}}={\frac {({\frac {m_{i}(t)}{M_{i}}})-({\frac {m_{i,0}}{M_{i}}})}{\nu _{i}}}={\frac {m_{i}(t)-m_{i,0}}{\nu _{i}\cdot M_{i}}}}$

Die Formel liefert für alle Reaktionsteilnehmer i der unabhängigen Einzelreaktion j (Hinreaktion, keine Gleichgewichtsreaktion) für eine Reaktionsdauer (oder Verweilzeit im Fließbetrieb) t (oder ${\displaystyle \tau }$) eine gemeinsame Umsatzvariable, die der Reaktion j zu dieser Zeit zugewiesen ist und für alle Reaktionsteilnehmer i Gültigkeit hat.

Für die Reaktionsteilnehmer A, B, C und D (Beispiel) gilt also:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {n_{A}(t)-n_{A,0}}{\nu _{A}}}={\frac {m_{A}(t)-m_{A,0}}{\nu _{A}\cdot M_{A}}}={\frac {n_{B}(t)-n_{B,0}}{\nu _{B}}}={\frac {m_{B}(t)-m_{B,0}}{\nu _{B}\cdot M_{B}}}={\frac {n_{C}(t)-n_{C,0}}{\nu _{C}}}={\frac {m_{C}(t)-m_{C,0}}{\nu _{C}\cdot M_{C}}}={\frac {n_{D}(t)-n_{D,0}}{\nu _{D}}}={\frac {m_{D}(t)-m_{D,0}}{\nu _{D}\cdot M_{D}}}}$

Die stöchiometrischen Koeffizienten von Ausgangsstoffen sind definitionsgemäß hier als negative Werte einzusetzen.

Umsatz aus Stoffmengen oder Massen berechnen

Auch in der Umsatzdefinition können Stoffmengen n mit der umgestellten Definition der Molaren Masse M substituiert werden denn es gilt:

${\displaystyle n_{i}={\frac {m_{i}}{M_{i}}}}$

Daraus folgt:

${\displaystyle X_{i}(t)={\frac {n_{i,0}-n_{i}(t)}{n_{i,0}}}={\frac {({\frac {m_{i,0}}{M_{i}}})-({\frac {m_{i}(t)}{M_{i}}})}{({\frac {m_{i,0}}{M_{i}}})}}={\frac {m_{i,0}-m_{i}(t)}{m_{i,0}}}}$

Dies gilt für jeden Reaktionsteilnehmer i der ein Ausgangsstoff ist, separat für jeden Ausgangsstoff. Für den Fließbetrieb werden aus Stoffmengen Stoffmengenströme und aus Massen werden Massenströme. Der Umsatz ist in beiden Fällen einheitslos, soweit man die gleichen Einheiten wegkürzt. Üblicherweise erhält der Umsatz im Fließbetrieb keinen Punkt über sein Symbol. Es wäre aber auch nicht falsch einen Punkt über das X zu schreiben.

Die Molare Masse lässt sich in der erhaltenen Formel wegkürzen.

Massenverhältnisse bei einer chemischen Reaktion

Die an der unabhängigen Einzelreaktion j beteiligten Stoffe A, B, C und D (Beispiel) stehen also in festen Stoffmengenverhältnissen zueinander bezüglich ihres Verbrauchs oder ihrer Bildung:

1) ${\displaystyle {\frac {n_{B}}{n_{A}}}={\frac {\nu _{A}}{\nu _{B}}}}$

2) ${\displaystyle {\frac {n_{C}}{n_{A}}}={\frac {\nu _{A}}{\nu _{C}}}}$

3) ${\displaystyle {\frac {n_{D}}{n_{A}}}={\frac {\nu _{A}}{\nu _{D}}}}$

4) ${\displaystyle {\frac {n_{B}}{n_{C}}}={\frac {\nu _{C}}{\nu _{B}}}}$

5) ${\displaystyle {\frac {n_{B}}{n_{D}}}={\frac {\nu _{D}}{\nu _{B}}}}$

6) ${\displaystyle {\frac {n_{C}}{n_{D}}}={\frac {\nu _{D}}{\nu _{C}}}}$

Bei vier Reaktionsteilnehmern sind es entsprechend den Regeln der Kombinatorik sechs unabhängige Verhältnisgleichungen der Stoffmengen oder Stoffmengenströme.

Mit der umgestellten Definitionsgleichung der Molaren Masse M:

${\displaystyle n_{i}={\frac {m_{i}}{M_{i}}}}$

können die Stoffmengen gegen den Quotienten aus Masse m und Molarer Masse M ausgetauscht werden:

1) ${\displaystyle {\frac {n_{B}}{n_{A}}}={\frac {m_{B}/M_{B}}{m_{A}/M_{A}}}={\frac {\nu _{A}}{\nu _{B}}}}$

2) ${\displaystyle {\frac {n_{C}}{n_{A}}}={\frac {m_{C}/M_{C}}{m_{A}/M_{A}}}={\frac {\nu _{A}}{\nu _{C}}}}$

3) ${\displaystyle {\frac {n_{D}}{n_{A}}}={\frac {m_{D}/M_{D}}{m_{A}/M_{A}}}={\frac {\nu _{A}}{\nu _{D}}}}$

4) ${\displaystyle {\frac {n_{B}}{n_{C}}}={\frac {m_{B}/M_{B}}{m_{C}/M_{C}}}={\frac {\nu _{C}}{\nu _{B}}}}$

5) ${\displaystyle {\frac {n_{B}}{n_{D}}}={\frac {m_{B}/M_{B}}{m_{D}/M_{D}}}={\frac {\nu _{D}}{\nu _{B}}}}$

6) ${\displaystyle {\frac {n_{C}}{n_{D}}}={\frac {m_{C}/M_{C}}{m_{D}/M_{D}}}={\frac {\nu _{D}}{\nu _{C}}}}$

Eine Massenbilanz für jeden Reaktionsteilnehmer i erhält man, wenn man in der jeweiligen Stoffmengenbilanz den Stoffmengen(strom) genauso wie hier gezeigt substituiert durch den Quotienten aus Masse (oder Massenstrom) und Molarer Masse. Die volumenbezogene Bilanz würde dann Massenkonzentrationen liefern.

Massenerhaltungssatz

Verschließt man ein Reaktionsvolumen/Gefäß nach dem Einbringen aller Ausgangsstoffe hermetisch, so kann nichts mehr entweichen. Man hat ein Abgeschlossenes System vorliegen. Die Gesamtmasse vor Beginn der Reaktion (beim Verschließen) bleibt nun unverändert bis zu jeder beliebigen Zeit t (Reaktionsdauer):

${\displaystyle \Sigma m_{i,0}+m_{Inert}=\Sigma m_{i}(t)+m_{Inert}={\text{const.}}}$

Nicht an der Reaktion teilnehmende inerte Substanzen verändern ihre eigene Masse nicht. Dies können ein Schutzgas oder ein Lösemittel sein, soweit das Lösemittel nicht an der Reaktion teilnimmt.

Hier sind i alle Reaktionsteilnehmer (Reaktanden). Die zusätzliche „0“ benennt jene die auch zum Zeitpunkt t=0 vorhanden waren (Einwaage).

Im Fließbetrieb sind zufließender Massenstrom und abfließender Massenstrom gleich groß. Dieses System ist offen. Die Dichte (Massendichte) bleibt im Stationärbetrieb und Fließbetrieb gleich groß wenn zusätzlich Volumen bzw. Volumenstrom konstant bleiben (nicht-volumenändernde Reaktion).

Massenbezogene „individuelle“ Gaskonstante R_i für massenbezogene Bilanzierungen von Gasreaktionen

Da es zwei Versionen der Idealgasgleichung gibt, kann man das Idealgasverhalten einmal mit der „allgemeinen Gaskonstante“ R berechnen, die auf eine Stoffmenge n bezogen ist und daher auch molare Gaskonstante heißt. Bei ihrer Nutzung rechnet man mit Stoffmengen, also mit Molen. Diese allgemeine Gaskonstante R hat den Vorteil als Naturkonstante praktisch für jedes Gas Gültigkeit zu haben.

Will man jedoch statt mit Stoffmengen n mit Massen m rechnen, also eine Massenbilanz nutzen anstelle einer Stoffmengenbilanz, so kann man massenspezifische Gaskonstanten nutzen. Massenspezifische Gaskonstanten haben immer nur für ein spezielles Gas Gültigkeit. Daher heißen sie auch spezifische oder individuelle Gaskonstante. Diese massenspezifische Gaskonstante ist eine Materialkonstante für jedes einzelne Gas.

Die Idealgasgleichung lautet in den gleichgesetzten zwei Versionen^[43]:

${\displaystyle p\cdot V=n\cdot R\cdot T=m\cdot R_{i}\cdot T}$

Der hier nicht benötigte Teil wird weggelassen bzw. gekürzt. Es folgt:

${\displaystyle n\cdot R=m\cdot R_{i}}$

und

${\displaystyle R_{i}={\frac {n\cdot R}{m}}}$

Mit der Definition der Molaren Masse M:

${\displaystyle M_{i}={\frac {m_{i}}{n_{i}}}}$

Folgt letztlich die Umrechnungsformel zwischen allgemeiner Gaskonstante (Naturkonstante) R und der individuellen Gaskonstante R_i eines Gases i:

${\displaystyle R_{i}={\frac {n_{i}\cdot R}{m_{i}}}={\frac {R}{M_{i}}}}$

Und es besteht noch ein Zusammenhang zu isochorer (Volumen konstant !) spezifischer Wärmekapazität c_v und isobarer (Druck konstant !) spezifischer Wärmekapazität c_p :

${\displaystyle R_{i}={\frac {n_{i}\cdot R}{m_{i}}}={\frac {R}{M_{i}}}=c_{p}-c_{v}}$

Hier sind die massenbezogenen spezifischen Wärmekapazitäten gemeint, die beide die Einheit „Kilojoule pro Kilogramm und pro Kelvin“ ([kJ/kg*K]) haben^[44].

Die allgemeine Gaskonstante R hat die Einheit „Joule pro Mol und pro Kelvin“: [J/mol*K] (oder gleichbedeutend „Kilojoule pro Kilomol und pro Kelvin“: [kJ/kmol*K]).

Die massenspezifische Gaskonstante R_i hat die Einheit „Joule pro Gramm und pro Kelvin“: [J/g*K] (oder gleichbedeutend „Kilojoule pro Kilogramm und pro Kelvin“: [kJ/kg*K]).

Massenbezogenes spezifisches Volumen v (Kehrwert der Dichte)

Das auf die Masse bezogene Spezifische Volumen v ist der Kehrwert der Dichte ${\displaystyle \varrho }$ (Massendichte). Es hat die Einheit [Kubikmeter pro Kilogramm] oder [Liter pro Kilogramm].

In Massenbilanzen wird es zur Berechnung von Volumina herangezogen. Es ersetzt somit hier das (reale) molare Volumen V_m in der Stoffmengenbilanz.

Seine Definition (und der Zusammenhang zur Dichte) lautet:

${\displaystyle v_{i}={\frac {V_{i}}{m_{i}}}={\frac {1}{\varrho _{i}}}}$

Das tiefgestellte i steht für den jeweils betrachteten Stoff i, meist eine chemische Reinsubstanz.

Molare Bilanzierung der chemischen Reaktion

Es ist hier zu unterscheiden zwischen dem diskontinuierlichen Stationärbetrieb („Batch“) und dem kontinuierlichen Fließbetrieb.

Normalform der Bilanzgleichung zur Reaktionsgleichung

Die Reaktionsgleichung ist ja immer nach dem System „Ausgangsstoff (links) reagiert zum Produkt (rechts)“ aufgebaut.

Für Bilanzierungen wird in der Chemie und der Verfahrenstechnik eine gleichwertige mathematische Gleichung (Bilanzgleichung) aufgeschrieben. In dieser werden die Ausgangsstoffe durch Subtraktion auf die rechte Seite der Gleichung verschoben. Links bleibt eine Null stehen. Letztlich wird die Null dann auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens gebracht.

Nachfolgend soll ein Beispiel gegeben werden:

${\displaystyle \mathrm {3\ A+4\ B\longrightarrow 1\ C+2\ D} }$

Die Reaktanden sind im Beispiel also A, B, C und D. Ihre stöchiometrischen Koeffizienten sind 3, 4, 1 und 2. Die zugehörige „normale“ Bilanzgleichung lautet:

${\displaystyle 3A+4B=1C+2D}$

Nun wird diese Gleichung durch Subtraktion der linken Terme umgeformt:

${\displaystyle 0=1C+2D-3A-4B}$

Diese „normierte“ Gleichung wird noch umsortiert:

${\displaystyle -3A-4B+1C+2D=0}$

Solche normierten Gleichungen (in der Mathematik Normalform genannt) werden in der Chemietechnik/Verfahrenstechnik aufgestellt und oft durch Matrizenrechnung als Gleichungssystem mit Rechentechnik gelöst/berechnet.

Wie man sieht wurden die stöchiometrischen Koeffizienten der Ausgangsstoffe A und B negativ. Diese Stoffe werden ja real verbraucht. Dies spiegelt sich in der normierten Bilanzgleichung wieder. Faktisch basiert diese normierte Bilanzgleichung auf einer Addition (unter Berücksichtigung der nun negativen stöchiometrischen Koeffizienten der Ausgangsstoffe).

Stoffmengenbilanz des Stationärbetriebes (Batch)

Stationärbetrieb bedeutet, dass die Reaktion beispielsweise in einem Becherglas, einem Kolben oder einem stationären (nicht-kontinuierlichen) Rührkessel durchgeführt wird. In allen genannten Fällen ohne einen permanenten zufließenden Anfangsstoffstrom und ohne einen Überlauf, der als permanenter Ablauf fungieren würde.

Das Reaktionsbehältnis hat ein genutztes Volumen (Füllvolumen, Reaktionsvolumen V_r). Das tiefgestellte „r“ steht für „Reaktion“. Da es keinen Volumenstrom gibt, gibt es auch keine statistische Verweilzeit ${\displaystyle \tau }$ im Reaktionsvolumen. Dies bedeutet, dass die Reaktionsdauer t vom Anwender frei wählbar ist. Zur Zeit t=0 startet die Reaktion, nachdem der Anwender alle Ausgangsstoffe in das Behältnis eingefüllt hat. Zur Zeit t beendet der Anwender den Versuch. Zu dieser Zeit, der Reaktionsdauer t wertet der Anwender die vorhandenen Stoffmengen n oder deren molare Stoffmengenkonzentrationen im Reaktionsvolumen (Reaktorvolumen, Nutzvolumen, Füllvolumen) aus. Dazu werden entweder nur Proben aus dem Volumen gezogen oder der ganze Behälter entleert.

Generell muss eine ideale Vermischung des Reaktionsvolumens durch einen vorhandenen Rührer gewährleistet sein, damit in jedem Volumenelement zu einer Zeit t die gleichen Konzentrationen vorliegen.

Zur Zeit t=0 existiert von jedem Ausgangsstoff i im Reaktionsvolumen eine Anfangsstoffmenge n_i,0. Das tiefgestellte i steht allgemein für einen Stoff, die zusätzlich tiefgestellte 0 dafür, dass es die Stoffmenge n oder Stoffmengenkonzentration c zur Zeit t=0, also beim Versuchsstart ist. Jeder Reaktionsteilnehmer hat eine Anfangsstoffmenge (oder Anfangs-Stoffmengenkonzentration) sowie eine End-Stoffmenge oder End-Stoffmengenkonzentration zur Zeit t (Versuchsende). Diese Endwerte werden nur als n oder c oder als n(t) und c(t) benannt. Sie werden zur Zeit t (Reaktionsdauer) festgestellt.

Üblicherweise liegen Reaktionsprodukte (in der Reaktionsgleichung rechts des Reaktionspfeiles) zum Zeitpunkt t=0 beim Versuchsbeginn nicht vor, es sei denn es handelt sich um eine Gleichgewichtsreaktion oder die Produkte wurden vom Anwender bewusst mit eingebracht. Hier soll nachfolgend nur die einfache unabhängige Einzelreaktion (Hinreaktion, keine Gleichgewichtsreaktion) betrachtet werden.

Während der Reaktionsdauer t verbraucht sich ein Teil der Ausgangsstoffe (die in der Reaktionsgleichung links des Reaktionspfeiles stehen). Die Stoffmenge n und Stoffmengenkonzentration c der Produkte (rechts des Reaktionspfeiles) nimmt zu. Es gibt daher eine Stoffmengenänderung ${\displaystyle \Delta n}$ für jeden Reaktionsteilnehmer zu jeder Reaktionsdauer t (Zeitdifferenz ab t=0). Sie ist definitionsgemäß negativ für Ausgangsstoffe die ja verbraucht werden und positiv für die gebildeten Reaktionsprodukte.

Aus den genannten Festlegungen resultiert nun die allgemeine Stoffmengenbilanz für den stationären Batchbetrieb:

${\displaystyle n_{i}(t)=n_{\text{i,0}}+\Delta n_{i}(t)=n_{\text{i,0}}+\Delta n_{\text{i,r}}(t)}$

Das tiefgestellte „r“ an der Stoffmengendifferenz (Delta n) soll verdeutlichen, dass die Stoffmengenänderung im Reaktionsvolumen V_r auf eine Chemische Reaktion zurückzuführen ist (r=Reaktion). Jeder Stoff (Reaktionsteilnehmer) i hat eine eigene Stoffmengen-Bilanzgleichung. Anstelle des i steht dann die Kurzbezeichnung für den jeweiligen Reaktionsteilnehmers. Es gibt also jeweils so viele Stoffmengen-Bilanzgleichungen wie Reaktionsteilnehmer.

Entsprechend üblichen Definitionen in der chemischen Reaktionstechnik (z. B. dem der Umsatzvariable) ist die Stoffmengendifferenz so definiert, dass gilt: die Differenz ist zeitlicher Endwert minus zeitlichem Anfangswert (gilt für Stoffmengen n und Stoffmengenkonzentrationen c). Daher ist die genannte Stoffmengenbilanz auch formell eine Addition und keine Subtraktion ! Umstellen der obigen Stoffmengenbilanz liefert:

${\displaystyle \Delta n_{\text{i,r}}=n_{i}(t)-n_{\text{i,0}}}$

Für Zeiten t die nicht Null sind liefert die Stoffmengendifferenz negative Werte für Ausgangsstoffe, aber positive für Reaktionsprodukte.

Nun führt man die Definitionsgleichung der Umsatzvariable (Fortschreitungsgrad, veraltet: Reaktionslaufzahl) ${\displaystyle \xi }$ in die Gleichung ein. Ihre Definition lautet:

${\displaystyle \xi _{j}(t)={\frac {\Delta n_{i,r}(t)}{\nu _{i}}}={\frac {n_{i}(t)-n_{i,0}}{\nu _{i}}}}$

Die Zahlenwerte der Umsatzvariable sind entsprechend ihrer Definition grundsätzlich positiv, da für Ausgangsstoffe deren stöchiometrische Koeffizienten ${\displaystyle \nu }$ vereinbarungsgemäß hier als negative Werte einzusetzen sind (obwohl sie eigentlich positiv sind). Die Stoffmengen-Bilanzgleichung die ganz oben schon genannt wurde lautet nach dem Ersetzen der Stoffmengendifferenz (Delta n) nun:

${\displaystyle n_{i}(t)=n_{i,0}+(\Delta n_{i,r}(t))=n_{i,0}+(\nu _{i}\cdot \xi _{j}(t))}$

Dies ist die vollständige Stoffmengenbilanz einer unabhängigen Einzelreaktion j (Hinreaktion, keine Gleichgewichtsreaktion) für einen Reaktionsteilnehmer i^[45]. Insgesamt gibt es so viele Gleichungen wie Reaktionsteilnehmer für eine unabhängige Reaktion j. Gäbe es zwei unabhängige Reaktionen j1 und j2 mit jeweils 3 Reaktanden ij, würde man insgesamt also 6 unabhängige Gleichungen benötigen, um alle Stoffmengen (Änderungen) zu beschreiben.

Es ist auch möglich die Umsatz-Definition so umzuformen, dass diese dann in die Stoffmengenbilanz eingefügt werden kann. Dies hätte aber nur für Ausgangsstoffe Gültigkeit, da die Umsatzdefinition nur für Ausgangsstoffe geschaffen wurde.

Die umgestellte Umsatzdefinition lautet:

${\displaystyle -X_{i}(t)\cdot n_{i,0}=\Delta n_{i}(t)=n_{i}(t)-n_{i,0}}$

Das Einsetzen in die Stoffmengenbilanz eines Ausgangsstoffes („E“=Edukt) liefert die nur für Ausgangsstoffe gültige Stoffmengenbilanz:

${\displaystyle n_{E}(t)=n_{E,0}+(\Delta n_{E,r}(t))=n_{E,0}+(\nu _{E}\cdot \xi _{j}(t))=n_{E,0}+(-X_{E}(t)\cdot n_{E,0})=n_{E,0}\cdot (1-X_{E}(t))}$

Die zeitabhängigen Größen haben in den Betrachtungen ein t in Klammern dazu erhalten. Alle anderen Größen werden als konstant angesehen. Insbesondere Anfangsstoffmengen und Anfangskonzentrationen und im Fließbetrieb die Anfangs-Stoffmengenströme, die in das Reaktionsvolumen eintreten.

Es ist immer zu beachten, dass die Definitionen von Umsatz und Umsatzvariable sich fundamental unterscheiden.

Zusammenfassung:

• Stoffmengenbilanz nur für Ausgangsstoffe (Edukte) E, jeweils für einen Stoff:

Gl.1E: ${\displaystyle n_{E}(t)=n_{E,0}+(\Delta n_{E,r}(t))=n_{E,0}+(\nu _{E}\cdot \xi _{j}(t))=n_{E,0}+(-X_{E}(t)\cdot n_{E,0})=n_{E,0}\cdot (1-X_{E}(t))}$